Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos!
https://forumdematematica.org/

Geometria Superfície esférica e esfera
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10322		 Página 1 de 1
Autor:  Carmen [ 24 jan 2016, 23:14 ]
Título da Pergunta:  Geometria Superfície esférica e esfera
No espaço, fixado um referencial o.n. 0xyz, o cubo [ABCDEFGH] está inscrito na superf+icie esférica definida pela equação x²-8x+y²-4y+z²-2z+4=0.
Sabe-se que o vértice F do cubo tem de coordenadas(2.-1.3), Determine:
a) as coordenadas do vértice C
b) o volume do cubo

Queria enviar em anexo a figura do cubo, mas não consigo dá-me sempre extensão não permitida. Já experimentei .pdf .doc .docx e dá sempre erro

Os vértices estão na seguinte posição:
Face da frente: vértice superior esquerdo - ponto B
vértice superior direito- ponto A
vértice inferior esquerdo- ponto G
vértice inferior direito- ponto F
Face detrás: vértice superior esquerdo - ponto C
vértice superior direito- ponto D
vértice inferior esquerdo- ponto H
vértice inferior direito- ponto E
Podem ajudar-me. Obrigado
Autor:  jorgeluis [ 25 jan 2016, 03:46 ]
Título da Pergunta:  Re: Geometria Superfície esférica e esfera  [resolvida]
Carmem,
pelo que descreveu, do vértice C ao vértice F temos a diagonal do cubo, ou, o raio da esfera (d=2r).

se, C(x,y,z) e F(2.-1.3)
então, podemos dizer que, o centro da esfera K(a,b,c) se encontra no ponto médio de CF:
\(k(a,b,c)=(\frac{(x+2)}{2},\frac{(y-1)}{2},\frac{(z+3)}{2})\)

Equação reduzida da esfera:
\((x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=r^2\)

comparando com a equação geral:
\(x^2-8x+y^2-4y+z^2-2z+4=\)

temos:
\((x-4)^2=x^2-2.x.4+4^2
(y-2)^2=y^2-4.y.2+2^2
(z-1)^2=z^2-2.z.1+1^2\)

tiramos que:
\(x^2-8x+y^2-4y+z^2-2z+4=
x^2-8x+y^2-4y+z^2-2z=-4\)

é igual a:
\((x-4)^2+(y-2)^2+(z-1)^2=r^2
x^2-8x+y^2-4y+z^2-2z=r^2-4^2-2^2-1^2
x^2-8x+y^2-4y+z^2-2z=r^2-21\)

concluimos então, que:
o centro da esfera é k(4,2,1)
e o raio da esfera é r
\(r^2-21=-4
r=\pm\sqrt{17}\)

como,
\(k(a,b,c)=(\frac{(x+2)}{2},\frac{(y-1)}{2},\frac{(z+3)}{2})
k(4,2,1)=(\frac{(x+2)}{2},\frac{(y-1)}{2},\frac{(z+3)}{2})\)

\(\frac{(x+2)}{2}=4
x=6\)

\(\frac{(y-1)}{2}=2
y=5\)

\(\frac{(z+3)}{2}=1
z=-1\)

então:
a) as coordenadas do vértice C(x,y,z) é C(6,5-1)

b) o volume do cubo é \(V=a^3\)

diagonal do cubo = 2 x raio da esfera (d=2r)
diagonal do cubo = \(a\sqrt{3} (d=a\sqrt{3})\)

se,
\(r=\sqrt{17}\)
então,
\(d=2r
a\sqrt{3}=2\sqrt{17}
a=\frac{2\sqrt{17}}{\sqrt{3}}
a=\frac{2\sqrt{51}}{3}\)
\(V=a^3
V=(\frac{2\sqrt{51}}{3})^3
V=\frac{8.51\sqrt{51}}{27}
V=\frac{136\sqrt{51}}{9}\)
Página 1 de 1 Os Horários são TMG [ DST ]
Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group
https://www.phpbb.com/