Sistema de equações paramétricas de uma reta

[Carmen]

No espaço em relação a um referencial o.n. 0xyz considera os pontos A(1,-2,4) e B(-3,2,5) e a reta r definida por\(x=1+3k y=-2k , k\epsilon \mathbb{R} z=2+k\).
a) Detremina as coordenadas dos pontos de interseção da reta r com os planos ordenados
b)Determina \(\lambda\) ∊\(\mathbb{R}\) de modo que os pontos A, B e C não definam um plano, sendo C(-1,0,\(\lambda\).

Podem ajudar-me. Obrigado

[Carmen]

Peço desculpa mas o sistema saiu mal formatado. Vou repetir
:\(\left\{\begin{matrix} \\x=1+3k \\y=-2k ,k\epsilon \mathbb{R} \\z=2+k\\ \end{matrix}\right.\)


Espero que agora tenha ficado bem

[Fraol]

Olá, vou participar em:

b)Determina \(\lambda\) ∊\(\mathbb{R}\) de modo que os pontos A, B e C não definam um plano, sendo \(C(-1,0,\lambda)\).

\(A(1,-2,4), B(-3,2,5), C(-1,0,\lambda)\) não definem um plano se forem colineares (estiverem numa mesma reta).

Uma forma de resolver isso pode ser por meio de vetores: \(\vec{AB} = k \cdot \vec{AC}, k \in R\)

\(\vec{AB} = (-4,4,1)\)
\(\vec{AC} = (-2,2,\lambda - 4)\)

Então \(k = \frac{1}{2}\) e \(\lambda - 4 = \frac{1}{2}\), uma continha a mais e teremos \(\lambda\).

Outra forma é calcular o determinante formado pelos 3 pontos e igualá-lo a 0.