Seja R a relação sobre R^2 dada por (a,b) R(c,d)...

[Tales]

[b]Gente...

Preciso muitíssimo da ajuda de vocês!!!!
Estou desesperado.
Não dá pra resolver essa questão.
Me ajudem, por favor.[/b]

Seja \(\Re\) a relação sobre \(\mathbb{R}^2\) dada por (a,b) \(\Re\) (c,d) \(\Leftrightarrow\) \(a\leq c\) e \(b\leq d\). Mostre que \(\Re\) é uma relação de ordem parcial sobre \(\mathbb{R}^2\).

Obrigado.

Tales

[Sobolev]

Uma relação de ordem parcial é reflexiva, anti-simétrica e transitiva. tem pois que verificar estas três propriedades no caso concreto que apresenta.

1. Reflexividade. Mostrar que \((a,b) {\cal R} (a,b)\).

\((a,b) {\cal R} (a,b) \Leftrightarrow a \leq a \wedge b \leq b\), o que é verdade.

2. Anti-simetria. Mostrar que \((a,b) {\cal R} (c,d) \wedge (c,d) {\cal R} (a,b) \Rightarrow (a,b)=(c,d)\)

\((a,b) {\cal R} (c,d) \wedge (c,d) {\cal R} (a,b) \Leftrightarrow (a \leq c \wedge b \leq d) \wedge (c \leq a \wedge d \leq b) \Rightarrow
(a \leq c \wedge a \ge c) \wedge (b \leq d \wedge b \ge d) \Rightarrow a=c \wedge b=d \Rightarrow (a,b) =(c,d)\\)

3. Transitividade. Mostrar que \((a,b) {\cal R} (c,d) \wedge (c,d) {\cal R} (e,f) \Rightarrow (a,b) {\cal R} (e,f)\)

...

consegue concluir?

[Tales]

Desculpe, Sobolev

Eu estou começando a aprender esta conteúdo...
Não consigo concluir, infelizmente.
Poderia finalizar a demonstração?

Obrigado.

[Sobolev]

\((a,b) {\cal R} (c,d) \wedge (c,d) {\cal R} (e,f) \Rightarrow
(a \leq c \wedge b \leq d) \wedge (c \leq e \wedge d \leq f)\Rightarrow
(a \leq c \wedge c \leq e) \wedge (b \leq d \wedge d \leq f) \Rightarrow
a \leq e \wedge b \leq f \Rightarrow
(a,b) {\cal R} (e,f)\)