| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10445 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | Caruso [ 17 fev 2016, 00:44 ] |
| Título da Pergunta: | Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Galera. Estou com dificuldade para resolver esta questão. Alguém pode me ajudar? É muito bom poder contar com os amigos desse fórum (o melhor que já participei: bastante colaborativo). Segue a questão: Prove que o conjunto \(M=\left \{ p\sqrt{5}:p\in \mathbb{N} \right \}\subset \mathbb{R}\) de números reais não é limitado superiormente. |
|
| Autor: | Sobolev [ 17 fev 2016, 09:26 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Pode provar por contradição. Se suposer que o conjunto é limitado superiormente então existe um natural \(p_0\) tal que todos os elementos de M são inferiores a \(p_0 \sqrt{5}\). Mas \((p_0+1) \sqrt{5}\) é um elemento de M e \((p_0+1)\sqrt{5}>p_0 \sqrt{5}\), o que é absurdo face à hipótese inicial, que por isso não é válida. |
|
| Autor: | Caruso [ 17 fev 2016, 15:28 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Olá, Sobolev. Existe outra forma de se provar a não ser por contradição? Valeu, amigo. Obrigado. |
|
| Autor: | santhiago [ 17 fev 2016, 17:19 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Alternativamente , podemos usar o fato que \(\mathbb{N}\) é ilimitado em \(\mathbb{R}\) pelo que dado qualquer número real x podemos encontrar um número natural n satisfazendo \(n \cdot \sqrt{5} > x\) (tal prop. tbm conhecida como prop. Archimedean ) ... |
|
| Autor: | Caruso [ 25 fev 2016, 19:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Sobolev e santhiago, Está correta esta demonstração que desenvolvi? Digam se há alguma incorreção, por favor. Suponhamos, por absurdo, que o conjunto M\(\subset\)\(\mathbb{R}\) seja limitado superiormente. Como M\(\neq \varnothing\), existe c\(\in \mathbb{R}\), tal que C=supM. Logo c-\(\sqrt{5}\) não é cota superior de M. Consequentemente, existe x\(\in\)M tal que c-\(\sqrt{5}< x\), ou seja, c\(c<x+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{5}=(p+1)\sqrt{5}.\) Absurdo, pois \(x+\sqrt{5}\in M\) e c=supM. O que acham?????? |
|
| Autor: | Caruso [ 25 fev 2016, 19:08 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prove que o conjunto (...) de números reais não é limitado superiormente. |
Caruso Escreveu: Sobolev e santhiago,
Está correta esta demonstração que desenvolvi? Digam se há alguma incorreção, por favor. Suponhamos, por absurdo, que o conjunto M\(\subset\)\(\mathbb{R}\) seja limitado superiormente. Como \(M\neq \varnothing\) , existe c\(\in \mathbb{R}\), tal que C=supM. Logo c-\(\sqrt{5}\) não é cota superior de M. Consequentemente, existe x\(\in\)M tal que c-\(\sqrt{5}< x\), ou seja, c\(c<x+\sqrt{5}=\sqrt{5}+\sqrt{5}=(p+1)\sqrt{5}.\) Absurdo, pois \(x+\sqrt{5}\in M\) e c=supM. O que acham?????? |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|