dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ?

[dougsfm]

Bom é o seguinte, dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ?

Seguinte já tentei elevar os dois lado porém não sei onde encachar o valor, ficando assim x² + 1/x² = 7 daí em diante não sei mais o que fazer.

[Sobolev]

Pode verificar o enunciado? Não será para determinar o valor de \(x-\frac 1x\)? Se for esse o caso, tem que:
\(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}=3 \Rightarrow
x + 2 + \frac 1x = 9\)

se for mesmo o enunciado inicial, diga qq coisa!

[dougsfm]

Pode verificar o enunciado? Não será para determinar o valor de \(x-\frac 1x\)? Se for esse o caso, tem que:
\(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}=3 \Rightarrow
x + 2 + \frac 1x = 9\)

se for mesmo o enunciado inicial, diga qq coisa!

Sim, é para determinar o valor de x - 1/x

[Sobolev]

Nesse caso, retomando os cálculos, e considerando que x>0 temos

\(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 \Rightarrow x+2+\frac 1x = 9 \Leftrightarrow x^2+1 = 7x\)

Resolvendo a equação do segundo grau verá que apenas uma das soluções resolve a equação inicial, e conclui que \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\)

Finalmente pode agora calcular

\(x-\frac 1x = -3\sqrt{5}\).

Julgo que deve haver algum modo mais directo de chegar à solução, manipulando directamente a eq. inicial de modo a fazer aparecer o termo \(x-1/x\), mas neste momento não estou a ver...

[Rui Carpentier]

Acho que o método do Sobolev é o mais simples (ou pelo menos o mais óbvio). Adiciono apenas que há duas soluções: uma para \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac{1}{x} = -3\sqrt{5}\) e outra para \(x =\frac{1}{2} \left(7+3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac 1x = 3\sqrt{5}\).

Outra possibilidade mais direta, mas menos óbvia*, seria:

\(x-\frac{1}{x}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2-4}=\pm 3\sqrt{9-4}=\pm 3\sqrt{5}\)


* na verdade só cheguei a ela após tentar pôr os passos de uma outra resolução mais complicada numa só fórmula.

[Sobolev]

Obrigado Rui, existem de facto duas soluções... por alguma razão achei que uma delas não satisfazia a equação inicial...