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| dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=10638 |
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| Autor: | dougsfm [ 14 mar 2016, 21:49 ] |
| Título da Pergunta: | dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Bom é o seguinte, dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? Seguinte já tentei elevar os dois lado porém não sei onde encachar o valor, ficando assim x² + 1/x² = 7 daí em diante não sei mais o que fazer. |
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| Autor: | Sobolev [ 15 mar 2016, 12:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Pode verificar o enunciado? Não será para determinar o valor de \(x-\frac 1x\)? Se for esse o caso, tem que: \(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}=3 \Rightarrow x + 2 + \frac 1x = 9\) se for mesmo o enunciado inicial, diga qq coisa! |
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| Autor: | dougsfm [ 15 mar 2016, 18:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Sobolev Escreveu: Pode verificar o enunciado? Não será para determinar o valor de \(x-\frac 1x\)? Se for esse o caso, tem que: \(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}=3 \Rightarrow x + 2 + \frac 1x = 9\) se for mesmo o enunciado inicial, diga qq coisa! Sim, é para determinar o valor de x - 1/x |
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| Autor: | Sobolev [ 15 mar 2016, 19:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Nesse caso, retomando os cálculos, e considerando que x>0 temos \(\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 3 \Rightarrow x+2+\frac 1x = 9 \Leftrightarrow x^2+1 = 7x\) Resolvendo a equação do segundo grau verá que apenas uma das soluções resolve a equação inicial, e conclui que \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\) Finalmente pode agora calcular \(x-\frac 1x = -3\sqrt{5}\). Julgo que deve haver algum modo mais directo de chegar à solução, manipulando directamente a eq. inicial de modo a fazer aparecer o termo \(x-1/x\), mas neste momento não estou a ver... |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 16 mar 2016, 17:24 ] |
| Título da Pergunta: | Re: dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Acho que o método do Sobolev é o mais simples (ou pelo menos o mais óbvio). Adiciono apenas que há duas soluções: uma para \(x =\frac{1}{2} \left(7-3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac{1}{x} = -3\sqrt{5}\) e outra para \(x =\frac{1}{2} \left(7+3 \sqrt{5}\right)\) que dá \(x-\frac 1x = 3\sqrt{5}\). Outra possibilidade mais direta, mas menos óbvia*, seria: \(x-\frac{1}{x}=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2}=\pm \left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\sqrt{\left(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^2-4}=\pm 3\sqrt{9-4}=\pm 3\sqrt{5}\) * na verdade só cheguei a ela após tentar pôr os passos de uma outra resolução mais complicada numa só fórmula. |
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| Autor: | Sobolev [ 16 mar 2016, 23:13 ] |
| Título da Pergunta: | Re: dada a equação √x + 1/√x = 3 , o valor de x - 1/x= ? |
Obrigado Rui, existem de facto duas soluções... por alguma razão achei que uma delas não satisfazia a equação inicial... |
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