Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Boa tarde, galera.
Mais uma vez por aqui para solicitar a ajuda de vocês!
É muito bom poder contar com pessoas como vocês para o meu aprendizado em questões, à primeira vista, tão complexas.

A questão que não estou conseguindo resolver é a seguinte:

Demonstre o seguinte Teorema:
Um conjunto \(X\subset \mathbb{R}\) é compacto \(\Leftrightarrow \forall (x_{n})\) com \(x_{n} \in X\), \((x_{n})\) possui uma subsequencia \((x_{n_{k}})\) tal que \(x_{n_{k}}\rightarrow a\), \(a\in X\).

Obrigado.

Nil

Calculo que esteja a considerar a topologia usal em \(\mathbb{R}\) onde um conjunto é compacto se e só se é fechado e limitado. Assim se o conjunto X é compacto então qualquer sucessão em X é limitada. Agora basta provar que qualquer sucessão limitada possui uma subsucessão convergente, que o facto de X ser fechado (pois é compacto) garante que o limite de tal subsucessão está em X. Para vermos que qualquer sucessão limitada tem uma subsucessão convergente considere o seguinte processo. Tome um intervalo limitado [a,b] que contenha todos termos da sucessão e divide-o em dois subintervalos
de igual comprimento [a,c] e [c,b]. Pelo menos um deste terá de conter um número infito de termos da sucessão. Repetindo a operação indefinidamente, vamos obtendo uma sucessão de intervalos \([a,b]=I_1\supset I_2 \supset \cdots I_n\supset \cdots\) em que cada intervalo tem metade do comprimento do antecessor e cada um deles possui um nº infinito de termos da sucessão. Isto permite construir uma subsucessão \((x_{n_k})\) que é de Cauchy (logo convergente), basta escolher para \(x_{n_{k+1}}\) o primeiro termo da sucessão posterior a \(x_{n_k}\) que está em \(I_{k+1}\).
Isto prova a implicação da esquerda para a direita. Para provar a implicação inversa basta encontrar para qualquer conjunto não compacto X uma subsucessão de termos em X que não possui subsucessão convergente para um elemento de X. Se um conjunto X não é compacto então não é limitado ou não é fechado. Se não for limitado então \(X\setminus [-n,n]\) é não-vazio e então podemos construir uma sucessão \((x_n)\) com \(x_n\in X\setminus [-n,n]\) que não possui subsucessão limitada (logo não possui subsucessão convergente). Se X é limitado mas não fechado então X possui um ponto aderente \(a\) que não está em X (ou seja \(a\in\overline{X}\setminus X\)), nesse caso considere uma sucessão \((x_n)\) onde \(x_n\in X\cap \left[a-\frac{1}{n},a+\frac{1}{n}\right]\). Qualquer subsucessão dela convergirá para \(a\not\in X\).