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A reta r é uma função afim f e interseta os eixos Ox e Oy nos pontos A(4,0) e B(0,8), respectivamente. Seja P um ponto do gráfico de f com abcissa x ∊ [0,4] ( o intervalo é aberto, não encontro o símbolo na listagem).
Para cada posição do ponto P o triângulo [OAB] é decomposto no trapézio [OAPQ] e no triângulo [PBQ].
Sejam g e h funções de domínio x ∊ [0,4] ( o intervalo é aberto, não encontro o símbolo na listagem) tais que g(x) representa a área do trapézio [OAPQ] e h(x) representa a área do triângulo [PBQ]. Mostra que:
a) g(x) = - x² + 16
b) h(x) = x²

Podem ajudar-me. Obrigado

Estou curioso em saber qual a notação que usa para intervalo aberta. É que as mais usuais são ]a,b[ e (a,b) e não apresentam qualquer problema em escrever.

Quanto ao problema em si. Não é dito o que é o ponto Q. Calculo, pelo resto do enunciado, que seja a projeção de P no eixo Oy, ou seja, Q(0,f(x)).
Uma maneira fácil de resolver sem determinar a função f é observar que o triângulo [PBQ] é semelhante ao triângulo [ABO] que é um triângulo retângulo em que a altura é o dobro da base. Assim a área de [PBQ] será o comprimento da base ao quadrado (resulta da fórmula da área de um triângulo retangulo com o facto de a altura ser o dobro da base). Ou seja, a área de [PBQ] é \(x^2\) (pois o comprimento da base QP é x). A área do trapézio [OAPQ] será a área do triângulo [ABO], que é 16, menos a área do triângulo [PBQ], que já vimos ser \(x^2\), logo é \(16-x^2\).

Também é possível resolver determinando a expressão da função afim f. Para tal, determina-se as constantes a e b da expressão geral de uma função afim f(x)=ax+b a partir das equações f(0)=8 e f(4)=0 e depois determina-se g(x) e h(x) através das fórmulas das áreas do trapézio e do triângulo (respetivamente): \(g(x)=\frac{(4+x)\times f(x)}{2}\) e \(h(x)=\frac{x\times (8-f(x))}{2}\).