Prove por indução a seguintes proposições

[mtm]

Boa noite

Alguém poderia me ajudar com essa questão:

Prove por indução

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Grato desde já

[Estanislau]

viewtopic.php?f=70&t=11131

Não vale a pena postar duas vezes.

[jorgeluis]

i)
seja \(a\in \mathbb{Z}^{*}\),
\((-a)^n=a^n, \forall n\geq 0,par\)

base indutiva:
\((-a)^n=a^n\)
\((-1)^0=1^0\)
\(1=1 (V)\)

hipótese indutiva:
funciona para \(n=k\)

tese:
\((-a)^n=a^n
(-a)^{2k-2}=a^{2k-2}
-a^{(k-1)}.-a^{(k-1)}=a^{(k-1)}.a^{(k-1)}
-a^{(k-1)}=\frac{a^{(k-1)}.a^{(k-1)}}{-a^{(k-1)}}
-a^{(k-1)}=-a^{(k-1)} (V)\)

\((-a)^n=a^n
(-a)^{2k}=a^{2k}
-a^k.-a^k=a^k.a^k
-a^k=\frac{a^k.a^k}{-a^k}
-a^k=-a^k (V)\)

\((-a)^n=a^n
(-a)^{2k+2}=a^{2k+2}
-a^{(k+1)}.-a^{(k+1)}=a^{(k+1)}.a^{(k+1)}
-a^{(k+1)}=\frac{a^{(k+1)}.a^{(k+1)}}{-a^{(k+1)}}
-a^{(k+1)}=-a^{(k+1)} (V)\)


ii)
seja \(a\in \mathbb{Z}^{*}\),
\((-a)^n=-a^n, \forall n\geq 0,impar\)

base indutiva:
\((-a)^n=-a^n
(-1)^1=-1^1
-1=-1 (V)\)

hipótese indutiva:
funciona para \(n=k\)

tese:
\((-a)^n=-a^n
(-a)^{(2k-1)}=-a^{(2k-1)}
-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}=-\left [ a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})} \right ]
-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}=-\left [\frac{a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}}{-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}}\right ]
-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})}=-a^{(\frac{2k}{3}-\frac{1}{3})} (V)\)

\((-a)^n=-a^n
(-a)^{k}=-a^{k}
-a^{\frac{k}{3}}.-a^{\frac{k}{3}}.-a^{\frac{k}{3}}=-\left [a^{\frac{k}{3}}.a^{\frac{k}{3}}.a^{\frac{k}{3}}\right ]
-a^{\frac{k}{3}}=-\left [\frac{a^{\frac{k}{3}}.a^{\frac{k}{3}}.a^{\frac{k}{3}}}{-a^{\frac{k}{3}}.-a^{\frac{k}{3}}}\right ]
-a^{\frac{k}{3}}=-a^{\frac{k}{3}} (V)\)

\((-a)^n=-a^n
(-a)^{(2k+1)}=-a^{(2k+1)}
-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}=-\left [ a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})} \right ]
-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}=-\left [\frac{a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}}{-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}.-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}}\right ]
-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})}=-a^{(\frac{2k}{3}+\frac{1}{3})} (V)\)

[Estanislau]

Que absurdo.