Resolução inequação fracionária do segundo grau

[lew_ax]

Olá. Encontrei o exercício em um livro de matemática e não consigo resolver há bastante tempo. Amigos também não conseguiram resolver. Segue a questão

\(\frac{x+1}{x-1}-\frac{x+2}{x-2}\leq -\frac{2}{x-1}\)

[Estanislau]

Se tiver uma equação com numeradores e denominadores, e a incógnita faz parte de denominadores também, é preciso somar tudo de forma a obter uma equação de tipo f(x)/g(x) = 0, onde f(x) e g(x) são expressões quaisquer. Isso é, uma fração é igual a zero. E agora o mais importante: esta última equação equivale a f(x) = 0 e g(x) ≠ 0. Então, o que é preciso é resolver a equação f(x) = 0 e verificar se cada uma das soluções satisfaz a restrição g(x) ≠ 0 ou não.

Exemplo:
\(\frac{1}{x} = x
\frac{1 - x^2}{x} = 0
1 - x^2 = 0, \ x \ne 0
1 - x^2 = 0: x = \pm 1\)
As duas soluções satisfazem a condição x ≠ 0, então a resposta é x = ±1.

[lew_ax]

Sim, porém neste caso específico algo acontece na hora de somar/subtrair as frações (para achar duas frações f(x)/g(x) ) que o resultado sempre aparece incompleto: Encontro sempre o resultado {x<1}, porém o livro traz a resposta {x<1 v x>2}. Não consigo encontrar o erro que exclui o resultado x>2.

[Estanislau]

Desculpa, não reparei no que tinha uma desigualdade. Porém, é praticamente a mesma coisa. Será uma desigualdade de forma F(x) ≤ 0, onde F é uma função. Primeiro, é preciso encontrar o domínio. Depois, repara-se no que a função está contínua (todas as funções elementares são contínuas). Ora é preciso encontrar os zeros de F, isso é, resolver a equação F(x) = 0. Os zéros dividem o domínio em vários intervais, e como a função é contínua, ela não muda de sinal dentro de cada intervalo. Então, o que resta é determinar o sinais nestes intervais - por exemplo, calculando o valor da função num ponto qualquer do intervalo.

Mas então, qual é o seu resultado da simplificação?