Somatórios, propriedades e sequências numéricas

[Carmen]

Mostre que, dados dois números naturais a e b a soma dos primeiros 100 múltiplos de a com os primeiros 100 múltiplos de b é igual à soma dos primeiros 100 múltiplos de (a+b).

Podem ajudar-me? Obrigado

[Fraol]

Oi,

Os primeiros \(100\) múltiplos de \(a\) são: \(a, 2a, 3a, ..., 99a, 100a = a(1+2+3+...+99+100)\)

Os primeiros \(100\) múltiplos de \(b\) são: \(b, 2b, 3b, ..., 99b, 100b = b(1+2+3+...+99+100)\)

Somando ambos você terá:

\(a(1+2+3+...+99+100) + b(1+2+3+...+99+100) = (a+b)(1+2+3+...+99+100)\)

E essa última expressão é igual a:

\((a+b) + 2(a+b) + 3(a+b) +...+99(a+b)+100(a+b)\)

Que é o resultado pedido.