Provar desigualdade entre três variáveis

[lew_ax]

\(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}\)

Na equação acima, caso \(x<c\) e \(y<c\), como posso provar que o resultado também será menor que \(c\)?

[João P. Ferreira]

Como \(c^2\) é sempre positivo pode-se dizer através das premissas que \(c^2(x+y)=c^2x+c^2y<c^2c+c^2c=2c^3\)

repare que pelo facto de \(c^2>0\) implica que se \(x<c\) logo \(c^2x<c^2c\)

Como o termo está no numerador, logo

\(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}<\frac{2c^3}{c^2+xy}\)

continue. Consegue avançar?
a aguardar resposta

[Rui Carpentier]

Sugestão:
Mostre que \(c- \frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}=\frac{c(c-y)(c-x)}{c^2+xy}\) que, sendo \(x<c\) e \(y<c\) (e \(c>0\)?), é positivo se e só se \(c^2+xy>0\).

PS- Calculo que para além das condições \(x<c\) e \(y<c\) hajam mais algumas condições que garantam que \(c^2+xy>0\) (por exemplo, x,y>0 ou x,y>-c)

[lew_ax]

Como \(c^2\) é sempre positivo pode-se dizer através das premissas que \(c^2(x+y)=c^2x+c^2y<c^2c+c^2c=2c^3\)

repare que pelo facto de \(c^2>0\) implica que se \(x<c\) logo \(c^2x<c^2c\)

Como o termo está no numerador, logo

\(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}<\frac{2c^3}{c^2+xy}\)

continue. Consegue avançar?
a aguardar resposta

Daqui consigo chegar em \(\frac{x+y}{2}<c\), mas não vejo como isso me ajuda até o resultado final. Poderia me ajudar?

Agradeço!