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| Provar desigualdade entre três variáveis https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=11740 |
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| Autor: | lew_ax [ 14 set 2016, 07:41 ] |
| Título da Pergunta: | Provar desigualdade entre três variáveis |
\(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}\) Na equação acima, caso \(x<c\) e \(y<c\), como posso provar que o resultado também será menor que \(c\)? |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 14 set 2016, 14:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar desigualdade entre três variáveis |
Como \(c^2\) é sempre positivo pode-se dizer através das premissas que \(c^2(x+y)=c^2x+c^2y<c^2c+c^2c=2c^3\) repare que pelo facto de \(c^2>0\) implica que se \(x<c\) logo \(c^2x<c^2c\) Como o termo está no numerador, logo \(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}<\frac{2c^3}{c^2+xy}\) continue. Consegue avançar? a aguardar resposta |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 14 set 2016, 17:54 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar desigualdade entre três variáveis |
Sugestão: Mostre que \(c- \frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}=\frac{c(c-y)(c-x)}{c^2+xy}\) que, sendo \(x<c\) e \(y<c\) (e \(c>0\)?), é positivo se e só se \(c^2+xy>0\). PS- Calculo que para além das condições \(x<c\) e \(y<c\) hajam mais algumas condições que garantam que \(c^2+xy>0\) (por exemplo, x,y>0 ou x,y>-c) |
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| Autor: | lew_ax [ 15 set 2016, 06:06 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Provar desigualdade entre três variáveis |
João P. Ferreira Escreveu: Como \(c^2\) é sempre positivo pode-se dizer através das premissas que \(c^2(x+y)=c^2x+c^2y<c^2c+c^2c=2c^3\) repare que pelo facto de \(c^2>0\) implica que se \(x<c\) logo \(c^2x<c^2c\) Como o termo está no numerador, logo \(\frac{c^2(x+y)}{c^2+xy}<\frac{2c^3}{c^2+xy}\) continue. Consegue avançar? a aguardar resposta Daqui consigo chegar em \(\frac{x+y}{2}<c\), mas não vejo como isso me ajuda até o resultado final. Poderia me ajudar? Agradeço! |
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