Trigonometria e Funções trigonométricas. Perímetro de um triângulo

[Carmen]

Seja x um número real tal que x∊]0,\(\frac{\pi }{2}\)[. Prove que senx\(<\)x\(<\)tgx
Sugestão do exercício: Considera a circunferência trigonométrica e assinala um ângulo orientado de amplitude x, com x∊]0,\(\frac{\pi }{2}\)[, como na figura. Considera, ainda , os triângulos [OAB] e [OAC] e o setor circular sombreado.

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Anexos

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[Walter R]

Considere que a área do triângulo \(AOB\) é igual a \(A_{AOB}=\frac{(OA)senx}{2}=\frac{senx}{2}\), pois \(OA=1\). POr outro lado, a área do setor circular \(AOB\) é igual a \(A'_{AOB}=\frac{x(OA)^2}{2}=\frac{x}{2}\). Como \(AB\) é uma secante, temos claramente que \(A_{AOB}<A'_{AOB}\), ou seja, \(\frac{senx}{2}<\frac{x}{2}\), o que implica em \(senx<x\). Agora, se você comparar a área do triângulo \(AOC\) com a do setor circular \(AOB\), chegará à conclusão de que \(tgx>x\). Consegue fazer isto?

[Carmen]

Olá, estive a tentar,mas não consigo.
Usando o triângulo [OAC], dá-me tgx=\(\frac{1}{OC}\).Espero que esteja certo.
Mas depois não sei como tirar a conclusão de que x\(<\)tgx.

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