Incoerência nas propriedades de potenciação
23 dez 2016, 18:42
\(\sqrt{x}\cdot\sqrt{x}=\sqrt{x}^2\), pois \(x\cdot x=x^2\)
\(\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/2}=(x^{1/2})^2=(x^2)^{1/2}\)
isso acontece porque a propriedade de potência de potência nos pede que multipliquemos os expoentes, mas a multiplicação é comutativa, ou seja, \(a\cdot b=b\cdot a\), disso a igualdade \(x^{1/2}\cdot x^{1/2}=(x^{1/2})^2=(x^2)^{1/2}\) implicaria que \(\sqrt{x^2}=\sqrt{x}^2\), o que não é verdade, pois \(\sqrt{x^2}\) admite qualquer valor real para x e \(\sqrt{x}^2\) admite apenas valores não negativos de x uma vez que não há rais quadrada real de um número negativo. Até mesmo os gráficos de \(\sqrt{x}^2\) e \(\sqrt{x^2}\) são diferentes:
Então como pode ser verdadeira a igualdade \(\sqrt{x^2}=\sqrt{x}^2\)? Qual detalhe eu estou me esquecendo?
Muito obrigado.
\(\sqrt{x}\cdot \sqrt{x}=x^{1/2}\cdot x^{1/2}=(x^{1/2})^2=(x^2)^{1/2}\)
isso acontece porque a propriedade de potência de potência nos pede que multipliquemos os expoentes, mas a multiplicação é comutativa, ou seja, \(a\cdot b=b\cdot a\), disso a igualdade \(x^{1/2}\cdot x^{1/2}=(x^{1/2})^2=(x^2)^{1/2}\) implicaria que \(\sqrt{x^2}=\sqrt{x}^2\), o que não é verdade, pois \(\sqrt{x^2}\) admite qualquer valor real para x e \(\sqrt{x}^2\) admite apenas valores não negativos de x uma vez que não há rais quadrada real de um número negativo. Até mesmo os gráficos de \(\sqrt{x}^2\) e \(\sqrt{x^2}\) são diferentes:
Então como pode ser verdadeira a igualdade \(\sqrt{x^2}=\sqrt{x}^2\)? Qual detalhe eu estou me esquecendo?
Muito obrigado.
Re: Incoerência nas propriedades de potenciação
23 dez 2016, 20:43
As duas expressões são iguais, sempre que estejam as duas definidas, neste caso quando x é maior ou igual a zero.