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Seja a série: 1/3, 1/6, 1/9, 1/12, 1/15... Sei que pode ser representada por \(\sum 1/3n\) . Sendo o limite de an = 0, não posso, pelo Teste da Divergencia, dizer se a série é divergente ou convergente. Para isso, preciso calcular o limite de Sn, ou seja, preciso encontrar a soma que representa a série. É neste passo que estou com dificuldade. Alguém pode dar uma dica?

É uma série harmónica pelo que diverge. Noutro sentido também se pode dizer que é uma série de Dirichlet para p=1. Onde se sabe que para p=1 a série diverge.
Ao integrar esse somatório vai-se chegar à igualdade:
\(\sum_{n=1}^{\infty }\frac{1}{3n}=\frac{H_n}{3}\)

Em que Hn é o número harmónico. E ele cresce tão rapidamente como o logaritmo de base natural.
\(\lim_{n\rightarrow \infty }\ln(n)-H_n-\gamma =0\)

Por que a Integração foi feito? É uma forma de se chegar a soma (Sn)?

Não ajuda no cálculo, é apenas uma definição... o número harmónico \(H_n\) é justamente a soma dos primeiros n termos da série harmónica, isto é, \(H_n =\sum_{k=1}^n \frac 1k\). No post do pedro o que julgo que ele queria escrever era que
\(\sum_{k=1}^n \frac{1}{3k} = \frac 13 \sum_{k=1}^n \frac 1k = \frac{H_n}{3}\)

A divergência da série vem justamente do facto de a sucessão \(\frac{H_n}{3}\) não ser convergente.