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DÚVIDAS? Nós respondemos!

No conjunto V = {(x, y) | x, y pertence aos reais}, definamos "adição" assim:
(x1 , y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, 0)
e multiplicação por escalares com no R², ou seja, para cada a pertencente aos reais,
a(x, y) = (ax, ay).
Nessas condições, V é um espaço vetorial sobre os reais? Por quê?

Sei que a questão é simples, mas estou com dificuldade para aplicar os exemplos vistos em sala nos exercícios. Desde já, obrigado.

PARA ESPAÇOS VETORIAIS, VOCÊ DEVE TESTAR OS 8 AXIOMAS:
PARA ADIÇÃO:
(u + v) + w = u + ( v + w), ∀ u, v, w ∈ V
u + v = v + u, ∀ u, v ∈ V
∃ 0 ∈ V, ∀ u ∈ V, tal que u + 0 = u
∀ u ∈ V, ∃ (–u) ∈ V, u + (-u) = 0
PARA MULTIPLICAÇÃO POR UM ESCALAR, SENDO a E b NÚMEROS REAIS:
(ab) v = a(bv)
(a + b) v = av + bv
a (u + v ) = au + av
1u = u, para ∀ u, v ∈ V

NESSA QUESTÃO TEMOS A ADIÇÃO DEFINIDA DE MODO NÃO USUAL (x1 , y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, 0), POIS O COMUM SERIA QUE VIESSE (x1 , y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, y1 + y2), SENDO ASSIM VAMOS TESTAR AS PROPRIEDADES DA ADIÇÃO: VAMOS CHAMAR u=(x1,y1), v=(x2,y2) e w=(x3,y3)
1) (u + v) + w = u + ( v + w), VERIFIQUEMOS [(x1,y1)+(x2,y2)]+(x3,y3) = (x1 + x2, 0)+(x3 , y3) = (x1 + x2 + x3 , 0) = (x1 , y1) + (x2 + x3, 0) = (x1 , y1) + [(x2,y2)+(x3,y3)], LOGO SE VERIFICA.
2) u + v = v + u, VERIFIQUEMOS (x1,y1)+(x2,y2) = (x1 + x2, 0) = (x2 + x1 , 0) = (x2,y2)+(x1,y1) , LOGO SE VERIFICA.
3) u + 0 = u, VERIFIQUEMOS (x1,y1)+(0,0) = (x1,0) \(\neq\) (x1,y1), LOGO NÃO VAI SER ESPAÇO VETORIAL, POIS VEJA QUE u + 0 \(\neq\) u, SE VOCÊ ENCONTRAR COMO NESSA QUESTÃO UM AXIOMA EM QUE FALHE, NÃO PRECISA TESTAR MAIS, POIS JÁ NÃO VAI SER ESPAÇO VETORIAL.

Por que (x1,y1)+(0,0) = (x1,0)? Estamos assumindo algum valor para y1? Nessa parte eu me perdi. Entendi todo o resto, inclusive estava conseguindo resolver a questão, e achando que V seria um espaço vetorial...

não, não estamos assumindo nada, mas veja que (x1 , y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, 0), é como está definida a soma, mas, verificando para esta propriedade que diz que u+0=u, ou seja, (x1 , y1) + (0 , 0) = (x1 + 0, 0), concorda? pois é como está definida a soma, mas isso é diferente de u qu eé (x1 , y1), logo falha nesse axioma.

O resultado "0" não está definido apenas para a soma y1 + y2? Neste axioma, temos (x1 + 0, y1 + 0), ou seja, y1 + 0.. Isso não seria igual a y1? Estou com dificuldade de entender. Sendo assim, qualquer soma envolvendo y1 ou y2 teria como resultado 0? Independente de outro fator com o qual o y1 ou o y2 estivesse somando?

Mas se você, tiver um (x2,y2)=(0,0), este pertence ao conjunto V, e como a soma não é a usual você vai ter (x1+x2,y1+y2)=(x1,0), independente de quem seja y1 ou y2, é meio absurdo, mas o que nos dá isso é essa regra: (x1 , y1) + (x2 + y2) = (x1 + x2, 0), esses são todos números reais, então independente de quem seja y1 ou y2, a segundo coordenada será 0 em uma soma.

Entendi. Os valores de x e y não importam, pois valem para todos os reais e, independente dos seus valores, a soma sempre será 0. Não é meio absurdo. é completamente absurdo Mas tudo bem, é matemática.

Muito obrigado!

Por nada amigo, Bons estudos!