Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Se V é um espaço vetorial sobre os reais e u, v e w estão em V, mostre que

u + v = u + w \(\Rightarrow\) v = w

Não entendi o que a questão está pedindo. Devo provar que v = w usando a igualdade que foi dada? Sendo assim, não bastaria fazer +(-u) nos dois lados da igualdade? O que exatamente a questão quer?

Se V é um espaço vetorial, então são satisfeitos aqueles 8 axiomas.
Então dada a proposição: u + v = u + w, então basta fazer (-u)+ u + v = (-u) + u + w, daí faz essa junção pela propriedade associativa
(-u+ u) + v = (-u + u) + w
e pelo elemento simétrico a gente diz que (-u+ u) = 0
assim tenho 0 + v = 0 + w, logo v = w, pois 0+v=v e 0+w=w pelo elemento neutro da adição, então era só a questão de somar (-u) em ambos os lados, e que quando o negócio é óbvio demais a gente desconfia, mais é isso, bons estudos.