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| Prova de subespaços vetoriais com números racionais https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12269 |
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| Autor: | Engenet [ 25 jan 2017, 12:01 ] |
| Título da Pergunta: | Prova de subespaços vetoriais com números racionais |
O seguinte conjunto é um sub-espaço vetorial de \(\mathbb{R}^3\)? S = {(x, y, z) \(\in \mathbb{R}\) : x + y \(\in \mathbb{Q}\)} Supondo que (0, 0, 0) esteja em S, temos que 0 + 0 = 0, e 0 é racional. Fazendo soma de dois termos presentes em S, temos: (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). (x1 + x2) + (y1 + y2) deve originar um número racional. Podemos fazer \(\Rightarrow\) x1 + y1 + x2 + y2 = Número racional + Número racional = Número racional. Mas, na prova de multiplicação por escalar, fiquei confuso. c(x, y, z) = (cx + cy + cz) \(\Rightarrow\) cx + cy = c(x + y) = c*Número racional.. a multiplicação de um escalar, que pertence aos reais, por um racional, é igual a número racional? Estou respondendo a questão do jeito certo? |
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| Autor: | pedrodaniel10 [ 26 jan 2017, 05:14 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Prova de subespaços vetoriais com números racionais [resolvida] |
Está certo. Falha no axioma do produto por escalar. O produto de um racional por um irracional resulta num irracional. E é bem fácil de provar isso. Vamos partir do principio que: racional * irracional = racional \(\frac{a}{b}\cdot x=\frac{m}{n}\Rightarrow x=\frac{m}{n}\cdot \frac{b}{a}\) Com \(a,b,m,n\in \mathbb{Z},\: x\in\mathbb{R}\) e \(\:n,a,b\neq 0\) Nesta igualdade mostra que x é racional o que é um absurdo. Partimos do principio que x é irracional. Logo o produto tem de resultar num irracional. |
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