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Preciso verificar se a soma de dois subespaços do \(\mathbb{R}^3\) geram um outro \(\mathbb{R}^3\).

Preciso saber se estou fazendo direito:
U = (x, y, z) : x = z}
W = (x, y, z) : x + y + z = 0}

Comecei da seguinte forma:

u \(\in\) U \(\Rightarrow\) u = (x, y, x) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0)
w \(\in\) W \(\Rightarrow\) w = (x, y, z) = x(1, 0, 0) + y(0, 1, 0) + z(0, 0, 1)

Um vetor v pode então ser escrito como combinação linear de u e w, sendo:

v = (x, y, z, t) = a(1, 0, 1) + b(0, 1, 0) + c(1, 0, 0) + d(0, 0, 1)

Isso mostra que U + W irá gerar um \(\mathbb{R}^4\) e não um \(\mathbb{R}^3?\)

Não. Se está em \(R^3\) nunca pode pode gerar um \(R^4\). De uma forma geral, se estiver em \(R^n\) e tiver mais do que n vetores, com certeza algum(uns) serão combinação linear de outros.
Agora em relação ao problema. Temos dois espaços nulos. O que queremos fazer é transformar em espaços coluna, pois o resultado da soma é a concatenação dos dois subespaços de R³. Para isso tem de retirar os vetores que são combinação linear dos outros. A forma de fazer isso é meter todos os vetores numa matriz em linha e efetuar o processo de eliminação de Gauss.
\(U=Nul\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \end{bmatrix}=Col\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}
W=Nul\begin{bmatrix} 1 & 1& 1 \end{bmatrix}=Col\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}
U+W=Col\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -1\\ 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\)

Para eliminar os vetores que são combinação linear:
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

Pelo que
\(U+W=\mathfrak{L} \{(1,0,1),(0,1,0),(0,0,1)\}\)
que é a base geradora de R³