Encontrar conjunto de geradores para o espaço em R^4

[rorschach]

Encontre um conjunto de geradores para o espaço solução (em \(\mathbb{R}^4\)) do sistema \(\left\{\begin{matrix} x + z - w = 0 & & \\ -z + w = 0 & & \end{matrix}\right.\)

Eu simplesmente fiz a soma das duas equações no sistema, e obtenho x = 0 e z = w. Mas o que faço a partir disso?

[pedrodaniel10]

O primeiro passo é colocar a matriz em escada de linhas.
\(\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1 & 1 \end{bmatrix}\)

Felizmente, não precisei de fazer nada. Já está em escada de linhas.
O segundo passo temos de ver a variáveis em que não tem pivot. Neste caso, o y e o w são variáveis livres. Desta feita temos de colocar o x e o z em função do y e do w.

\(\left\{\begin{matrix} x=0\\ z=w \end{matrix}\right.\)

Assim temos:
\((x,y,z,w)=(0,y,w,w)=y(0,1,0,0)+w(0,0,1,1)=\mathfrak{L}\{(0,1,0,0),(0,0,1,1)\}\)

[rorschach]

Entendi mais ou menos.
Estou tentando usar a mesma lógica para resolver o seguinte: \(\left\{\begin{matrix} x - y + z -2w = 0 & & & \\ 2x + y - z - w = 0 & & & \\ x + 2y - 2z + w = 0 & & & \end{matrix}\right.\)

Fazendo um escalonamento e seguindo o seu raciocínio, cheguei a conclusão que x = w. Mas não sei como prosseguir.

[rorschach]

Cheguei a conclusão que o sistema "zera". Não sei se esse é o termo correto, mas continuando com o escalonamento, substituindo w por x, todas as equações se anulam. Dessa forma, é correto dizer que x = y = z = w = 0? E, sendo assim, eu poderia escrever um vetor de \(\mathbb{R}^4\) como sendo:

(x, y, z, w) = (x, x, x, x) = x(1, 1, 1, 1)?

[pedrodaniel10]

Resolver da mesma forma.
1) Colocar a matriz em escada de linhas.
\(\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\ 2 & 1 & -1 & -1\\ 1 & 2 & -2 & 1 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\ 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 3 & -3 & 3 \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 & -2\\ 0 & 3 & -3 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\)

2) Ver quais as variáveis que não tem pivot. Neste caso o z e o w são variáveis livres. Desta feita temos de colocar o x e o y em função do z e do w.

\(\left\{\begin{matrix} x-y+z-2w=0\\ 3y-3z+3w=0 \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=z-w-z+2w\\ y=z-w \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=w\\ y=z-w \end{matrix}\right.\)

\((x,y,z,w)=(w,z-w,z,w)=z(0,1,1,0)+w(1,-1,0,1)=\mathfrak{L}\{(0,1,1,0),(1,-1,0,1)\}\)