Fórum de Matemática
DÚVIDAS? Nós respondemos!

Como se resolve isso?

\(\frac{2^n + 2^{n + 1} + 2^{n + 2}}{2^{n + 1}}\) onde \(n\) pertence aos números naturais.?

R: do livro 7/2

Alguém poderia detalhar como se resolve para eu entender?

Um abraço a todos

Cristiano,
boa noite!

\(\frac{2^n + 2^{n + 1} + 2^{n + 2}}{2^{n + 1}} =\)

\(\frac{2^n \left ( 2^0 + 2^1 + 2^2 \right )}{2^n \cdot 2^1} =\)

\(\frac{2^n \left ( 1 + 2 + 4 \right ) }{2^n \cdot 2} =\)

\(\frac{2^n \cdot 7}{2^n \cdot 2} =\)

\(\fbox{\frac{7}{2}}\)

Qualquer dúvida, comente!

Daniel F.

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Daniel Ferreira
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kkkk...eu nem tinha pensado em fatoração. A cada dia que passa mais vejo como a fatoração é importante, para a resolução de muitos problemas.

Mas eu também queria tirar uma dúvida, como pesquisei acabei conseguindo resolver fazendo uso da propriedades da potência.

a^m / a^n = a^m-n

no caso ficou:

2^n-(n+1)+n+1+n+2=
n=2
logo, substitui o valor de n e cheguei ao resultado 7/2.
Queria saber se está certa a forma que fiz e no caso esteja certa, o por que eu ao somar as expressões chego no resultado.
no caso, eu sei que por exemplo que: 2^2+2^2, não é possível somar as potências e repetir a base.
Um abraço e obrigado por corrigir e resolver o tópico que abri.

Cristiano,
não entendi como resolveu, poderia detalhar como fez?
No aguardo!

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Daniel Ferreira
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Bom, só para reforçar, eu não sei se pode fazer dessa forma, mas cheguei ao resultado tentando de diversas formas e uma forma que eu consegui, foi determinando o valor de n, na expressão.

No caso, usei uma das propriedades da potência: seja, a^m/a^n, logo temos: a^m-n;

então a expressão: 2^n+2^n+1+2^n+2/2^n+1, foi determinado o valor de n, jogando a potência do divisor 2^n+1, para cima, como as bases são iguais, repeti a base que é 2 e joguei toda as potências nela, somando elas e dizendo que é igual a zero, para deixar como uma equação de primeiro grau. ficando 2^n-n+1(no caso n+1, do divisor)+n+1+n+2=0 , ficando n=4/2=2;

então substitui o valor de n na exressão, ficando: 2^2+2^2+1+2^2+2/2^2+1, tendo como resultado final: 7/2;

No caso, minha dúvida era saber se posso fazer dessa forma e se caso possa, o por que da mesma, eu posso fazer desta forma?, pois ao determinar o valor de n, joguei todas as potencias em uma única base, colocando o valor de "+" entre elas, com exceção do "-" que foi da potência que subiu, logo quanto a transformação delas em uma equação de primeiro grau, não achei regra para a colocação dos sinais.

obs: sabendo-se que existe a regra de que por exemplo: 2^2+2^2, não é possível somar suas potências, quando o mesmo ocorre na multiplicação,mas é possível soma-las, onde repete a base e soma as potências;

Um abraço e aguardo, possível resposta.

- quando eu entrar de férias, estudo o fórum para aprender a criar as exressões desenhadas...rsrsrs ainda n tive tempo de ver isso....hhehee

Caro Cristiano,
boa noite!
Não podes resolver dessa forma, veja o motivo:

A propriedade de potência mencionada garante que \(\fbox{\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}}\);

Se tivéssemos \(\frac{a^m + a^p}{a^n}\) não poderíamos concluir que resultaria \(a^{m - n + p}\), pois há uma adição no numerador;

Se fosse \(\fbox{\frac{a^m \cdot a^p}{a^n}}\), então \(\frac{a^{m + p}}{a^n} = a^{(m + p - n)}\), de acordo com a propriedade.


Só é possível colocar as potências em uma única base se houver multiplicação. Quando a multiplicação não aparecer, e é esse o caso, a alternativa que tens é colocá-los em evidência.

Comente qualquer dúvida!

Até logo.

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Daniel Ferreira
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