O que se quer mostrar é que a combinação linear \(a+be^x+ce^{2x}\) só é a função nula (no intervalo [0,1]) se a=b=c=0. Isso pode ser feito de, pelo menos, duas maneiras. Uma é escolhendo três valores para o x e obtemos um sistema linear cuja a matriz uma
matriz de Vandermonde que é não-singular e portanto o vetor nulo é a única solução da equação homogénia. Outra é observando que a função \(e^x\) é diferenciável logo a função \(a+be^x+ce^{2x}\) ser nula implica que as suas derivadas de primeira (\(be^x+2ce^{2x}\)) e segunda ordem (\(be^x+4ce^{2x}\)) também são funções nulas donde facilmente se tira que c=b=a=0.
Também se podia mostrar que {\(1, e^x, e^{2x}\)} é linearmente independente em \(C(\mathbb{R})\) calculando os limites \(\lim_{x\to -\infty}a+be^x+ce^{2x}\) e \(\lim_{x\to +\infty}(a+be^x+ce^{2x})/e^{2x}\) e tal implicaria independencia linear em C([0,1]) uma vez que, sendo \(e^x\) analítica, \(a+be^x+ce^{2x}\) é nula em \(\mathbb{R}\) se e só se é nula em [0,1].
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