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Sendo a+b+c = 0, a³ + b³ + c³ = a⁵ + b⁵ = c⁵ e ab≠0, qual o valor de a²+b²+c²? (R: 6/5)

Substituindo \(c = -a-b\) obtém a equação

\(a^3 + b^3 -(a+b)^3-a^5-b^5 = 0\)

Se \(a=-b\) a expressão anula-se, pelo que podemos fatorizar o termo \(a+b\) obtendo

\(-(a+b) \left(a^4-a^3 b+a^2 b^2-a b^3+3 a b+b^4\right) = 0\)

Se \(a=-b\) teremos c = 0 (1+ eq.). Deste modo pode ver que se ecolher \(a = \beta, b = -\beta, c = 0\), com \(\beta \ne 0\), são verificadas todas as condições propostas e

\(a^2+b^2+c^2 = 2 \beta^2\)

Assim, se não existir alguma condição adicional, o valor de \(a^2+b^2+c^2\) não está determinado.

Suponho que não tenha transcrito o enunciado completo.

Não entendi de onde veio a = -b.

A condição do enunciado é a.b ≠ 0.

O correto seria: a³ + b³ + c³ = a⁵ + b⁵ + c⁵

A questão é a mesma... Se \(a+b+c = 0\) podemos substituir \(c = -a-b\) na equação \(a^3+b^3+c^3 = a^5+b^5+c^5\), chegando a

\(a^3+b^3-(a+b)^3-a^5-b^5+(a+b)^5 = 0\)

Repare que a = 0 seria solução, assim como b = 0. Se a = -b a equação também é satisfeita. usando esta informação podemos fatorizar a experssão anterior...

\(a^3+b^3-(a+b)^3-a^5-b^5+(a+b)^5 = 0 \Leftrightarrow a b (a+b) \left(5 a^2+5 a b+5 b^2-3\right) = 0\)

Como \(ab \ne 0\) restam as possibilidades \(a+b = 0\) ou \(5 a^2+5 a b+5 b^2-3=0\).

Novamente, se escolher um qualquer valor \(\beta \ne 0\) para \(a\), tomar \(b = -\beta\) e \(c=0\), todas as condições são satisfeitas, e o valor de \(a^2+b^2+c^2\) não está fixo. Por exemplo,

1. Se \(a = 1, b = -1, c = 0\) tem \(ab \ne 0, a+b+c=0, a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\) e \(a^2+b^2+c^2 = 2\)

2. Se \(a = 2, b = -2, c = 0\) tem \(ab \ne 0, a+b+c=0, a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\) e \(a^2+b^2+c^2 = 8\)

3. Se \(a = 3, b = -3, c = 0\) tem \(ab \ne 0, a+b+c=0, a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\) e \(a^2+b^2+c^2 = 18\)


E assim sucessivamente... Em resumo, a informação dada não é suficiente para determinar o valor de \(a^2+b^2+c^2\).


A resposta fornecida, 6/5, vem do outro fator.

\(5 a^2+5 a b+5 b^2-3 = 0 \Leftrightarrow a^2+b^2 + ab = \frac 35\)

Como \(c=-a-b\) temos \(c^2=a^2+2ab + b^2 \Leftrightarrow ab = \frac 12 (c^2-a^2-b^2)\), o que substituído na equação anterior conduz a

\(a^2+b^2+\frac 12 (c^2-a^2-b^2) = \frac 35 \Leftrightarrow a^2+b^2+c^2 = \frac 65\)

Para o enunciado estar correcto e permitir a identificação inequivoca de \(a^2+b^2+c^2\) também se devia exigir que \(a+b \ne 0\). Realmente, se \(ab \ne 0, a+b \ne 0, a+b+c = 0\) e \(a^3+b^3+c^3=a^5+b^5+c^5\) tem-se que \(a^2+b^2+c^2=\frac 65\).

Entendi Sobolev. Grato pelos esclarecimentos e colocações.