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 Título da Pergunta: Combinação de moedas de 5 e 2
MensagemEnviado: 15 mar 2017, 22:16 
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Pessoal, boa tarde. Podem por favor me ajudar com a pergunta abaixo? Se possível, gostaria de métodos que possam ser aplicados em até dois minutos e sem calculadora. Obrigado!


1)Mateus está viajando por um país onde as moedas são emitidas em apenas dois valores, 2¢ e 5¢, as quais são feitas em ferro e cobre, respectivamente. Se Mateus tem dez moedas de ferro e dez moedas de cobre, quantas somas diferentes entre 1¢ e 70¢ ele pode fazer com uma combinação entre suas moedas (RESPOSTA LETRA A)

A) 66

B) 67

C) 68

D) 69

E) 70

Partindo do raciocínio que não é possível formar 1 e 3 com as moedas (nem como resto) poderíamos cortar o 1, 3, 67 e 69 e assim acertar a questão. Mas existe algum outro método? Algum modelo ou algo do tipo? Não estou muito confiante em meu método porque ele não seria válido em alguma questão mais complicada/complexa.


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MensagemEnviado: 17 mar 2017, 11:21 
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Formulando

\(n\) - número de moedas de ferro, \(n\in [1,10]\)
\(k\) - número de moedas de cobre, \(k\in [1,10]\)

\(n,k \in N\)

ou seja, \(n\) e \(k\) são números naturais, cada um estando entre 1 e 10 inclusive

logo a soma é

\(s=2n+5k\)

repare agora que entre \(n\) e \(k\) tem 10x10=100 possíveis casos (pode ter n=1 e k entre 1 e 10; n=2 e k entre 1 e 10 e assim sucessivamente). Mas há casos onde a soma ultrapassa os 70. Ache esses casos, e a resposta está na diferença entre 100 e esse valor.

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João Pimentel Ferreira
 
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MensagemEnviado: 17 mar 2017, 11:31 
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Quais os casos onde a soma ultrapassa os 70? Se usar as moedas todas obtém precisamente 70...


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MensagemEnviado: 17 mar 2017, 11:49 
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Olá, bom dia e obrigado pela resposta!

Acho que existem dois problemas com esse raciocínio, o primeiro deles é não considerar o 0 como um possível valor de N e K, e assim desconsiderando dois valores. O segundo é não desconsiderar valores iguais, como por exemplo 5 moedas de ferro e 3 de cobre ou 10 moedas de ferro e 1 de cobre. Acredito que n verdade, ao invés de encontrar os casos onde a soma ultrapasse 70 (não existem visto que o maior número possível de moedas de ferro + o maior número possível de moedas de cobre = 70) deve-se encontrar os casos onde os valores se repetem e subtraí-los das 100 possíveis combinações.


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MensagemEnviado: 17 mar 2017, 11:52 
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Pretendemos resolver a equação diofantina \(2x + 5y = n\)... De certo modo saber para que quantias \(n\) encontramos números inteiros \(x,y\) nas condições pretendidas. Ora, esta equação têm soluções se e só se mdc(2,5) dividir n, o que acontece sempre, já que mdc(2,5)=1. As soluções serão da forma

\(x = -2n + 5t, \qquad y = n - 2t\).

Neste caso, queremos ainda que x,y sejam positivos, pelo que devemos ter

\(-2n+5t \ge 0, \qquad n - 2t \ge 0 \Leftrightarrow \frac 25 n \leq t \leq \frac n2\).

Então, teremos soluções positivas se existir algum número inteiro t no intervalo \([\frac 25 n, \frac n2 ]\), o que acontece de certeza se \(\frac n2 - \frac 25 n \ge 1\), isto é, se \(n \ge 10\). Assim, todas as somas maiores ou iguais que 10 podem ser obtidas. Além disso, algumas somas inferiores a 10 também podem ser obtidas. A resposta será então 61 + 6 =67.


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MensagemEnviado: 19 mar 2017, 19:52 
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Muito obrigado caro Sobolev. Você é um génio :)

De facto caro Bart não tinha reparado que havia várias combinações de moedas que davam a mesma soma.

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MensagemEnviado: 21 fev 2019, 06:26 
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Olha.. na verdade eu não sou matemático, mas posso afirmar que meus colegas acima responderam incorretamente.
Releiam o enunciado: Resolver em até 2 minutos e a resposta é A:66

De fato, as somas podem ser obtidas de diversas formas. Como nós temos 2c x 10 e 5c x 10, podemos somar até 70c correto?
Então, podemos obter todos os números pares e multiplos de 5 com toda certeza entre 2 e 70. O que temos que perguntar é: quais números eu não posso obter a soma de 1 a 70?
a resposta é fácil:
Começando por baixo, não podemos obter 1 e 3, porque são menores que 5 e não são multiplos de 2. Ai já eliminamos as alternativas D e E.
Olhando pelo final, como já sabemos que podemos ter todos os pares, vamos olhar os ímpares. Resulta que 67 e 69 também não podem ser obtidos. Porque o máximo de combinação ímpar que temos é 2c x 10 = 20 e 5c x 9 = 45 , é 20+45 = 65
Entao de 1 a 70, não podemos obter 1,3,67 e 69. Resposta é 66 (A)

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Gabriel Kenji


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