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Encontre todas as soluções da equação:

\(3x^2+2x-4\equiv 0 (mod)17\)


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MensagemEnviado: 06 mai 2017, 03:33 
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Uma estratégia que nos ajuda em questões como está é multiplicar a equação por \(4\cdot a,\) onde \(a\) é o coeficiente do termo quadrado, para em seguida completarmos quadrado. Vejamos:

\(3x^2+2x-4\equiv 0 (mod17) \Rightarrow 4\cdot 3\cdot 3x^2 + 4\cdot 3\cdot 2x- 4\cdot 3\cdot 4\equiv 0 (mod 17)
\Rightarrow (6x)^2+2\cdot 6x\cdot 2 - 48\equiv 0 (mod17) \Rightarrow (6x)^2+2\cdot 6x\cdot 2 +4\equiv 52 (mod 17)
\Rightarrow (6x+2)^2\equiv 1 (mod17) \therefore 6x_1+2\equiv 1 (mod17)\) e \(6x_2+2\equiv -1 (mod17).\)
Assim \(6x_1\equiv -1 (mod17)[\tex] e [tex]6x_2\equiv -3.\)
Note que o inverso multiplicativo de 6 mod17 é 3, uma vez que \(6\cdot 3\equiv 1 (mod17).\) Deste modo,
\(3\cdot 6x_1\equiv 3\cdot (-1)(mod17)\Rightarrow x\equiv 14 (mod17)\) e \(3\cdot 6x_2\equiv 3\cdot(-3) (mod17)\Rightarrow x\equiv 8 (mod17).\)


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