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MensagemEnviado: 07 mai 2017, 17:35 
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Algebra Moderna

26. Pense na relação S em ZxZ* definida por:

(a,b)S(c,d) se, somente se, ad=bc.

Prove que S é uma relação de equivalência.


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MensagemEnviado: 08 mai 2017, 00:22 
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Bem, para que uma dada relação seja de equivalência, a mesma deve necessariamente ser: reflexiva, transitiva e simétrica.
Sendo assim, é reflexiva se,
\(\forall (a,b)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(a,b)\Rightarrow ab=ba.\)
S será simétrica se,
\(\forall (a,b), (c,d)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(c,d)\Leftrightarrow ad=bc = cb=da\Rightarrow (c,d)S(a,b).\)
Por fim, S é transitiva caso,
\(\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(c,d) e (c,d)S(e,f)\Rightarrow (a,b)S(e,f).\) De fato, \(ab=cd=ef\)

Logo, S é uma relação de equivalência.


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