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| Relação de Equivalência Álgebra Moderna https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12699 |
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| Autor: | braisafc [ 07 mai 2017, 17:35 ] |
| Título da Pergunta: | Relação de Equivalência Álgebra Moderna |
Algebra Moderna 26. Pense na relação S em ZxZ* definida por: (a,b)S(c,d) se, somente se, ad=bc. Prove que S é uma relação de equivalência. |
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| Autor: | Bruno Linhares [ 08 mai 2017, 00:22 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Relação de Equivalência Álgebra Moderna |
Bem, para que uma dada relação seja de equivalência, a mesma deve necessariamente ser: reflexiva, transitiva e simétrica. Sendo assim, é reflexiva se, \(\forall (a,b)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(a,b)\Rightarrow ab=ba.\) S será simétrica se, \(\forall (a,b), (c,d)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(c,d)\Leftrightarrow ad=bc = cb=da\Rightarrow (c,d)S(a,b).\) Por fim, S é transitiva caso, \(\forall (a,b),(c,d),(e,f)\in {\bb{Z}\time\bb{Z}^{*}} (a,b)S(c,d) e (c,d)S(e,f)\Rightarrow (a,b)S(e,f).\) De fato, \(ab=cd=ef\) Logo, S é uma relação de equivalência. |
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