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| diagonalização ortogonal da forma quadratica https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=12789 |
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| Autor: | helena [ 29 mai 2017, 19:36 ] |
| Título da Pergunta: | diagonalização ortogonal da forma quadratica |
Seja Q(x, y, z)=5x^2+8y^2+5z^2-4xy+8xz+4yz a) Determine a forma polar pQ e a matriz^1 A associada a Q b) Obtenha a diagonalização ortogonal da forma quadrática Q c)Esboce geometricamente o conjunto X pertence a R^3 tal que Q(X)=9 num sistema de coordenadas de R^3 à tua escolha. |
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| Autor: | Sobolev [ 30 mai 2017, 09:17 ] |
| Título da Pergunta: | Re: diagonalização ortogonal da forma quadratica |
Designando X = (x,y,z), a forma quadrática que apresenta pode ser escrita como \(Q(X)=X^T A X\), em que A é a matrix (simétrica) \(A=\begin{pmatrix} 5 & -2 & 4 \\ -2 & 8 & 2 \\ 4 & 2 & 5\end{pmatrix}\). Os valores próprios de A são \(\lambda = 9\), com multiplicidade algébrica 2 e \(\lambda = 0\), com multiplicidade algébrica 1. Determinando os respetivos espaços próprios, vemos que \(\mathbb{R}^3 = S_0 \oplus S_9\) em que \(S_0 = span\{(-2,-1,2)\}\) e \(S_9 = span\{(1,0,1), (-1,2,0)\}\). Como \(S_0\) já é ortogonal a \(S_9\), basta normalizar a base de \(S_0\) e ortonormalizar a base de \(S_9\) para obter a matriz de mudança de base que converte A numa matriz diagonal. Consegue prosseguir? |
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| Autor: | helena [ 30 mai 2017, 18:53 ] |
| Título da Pergunta: | Re: diagonalização ortogonal da forma quadratica |
Sim . só nao consigo na ultima questão. |
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| Autor: | Sobolev [ 31 mai 2017, 10:27 ] |
| Título da Pergunta: | Re: diagonalização ortogonal da forma quadratica |
Se escrever a forma quadrática Q na base dos vetores próprios que antes referi, a mesma terá uma representação do tipo \(Q(a,b,c)= 0 \cdot a^2 + 9 \cdot b^2 + 9 \cdot c^2\) Assim a condição \(Q(a,b,c)=9 \Leftrightarrow b^2 + c^2 = {1}\) define nesse sistema de coordenadas um cilindro de raio 1 cujo eixo coincide com o eixo coordenado "a". |
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| Autor: | helena [ 31 mai 2017, 16:03 ] |
| Título da Pergunta: | Re: diagonalização ortogonal da forma quadratica |
Obrigada. |
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