Entendimento de Passos em Equação do Segundo Grau

[calbferreira@2]

Poderia por gentileza detalhar como a equação \(t^2-\frac{3}{2}t-1\)


pode ser passada para a forma \((t-\frac{3}{4})^2-\frac{25}{16}\)??

[Baltuilhe]

Boa noite!

Foi utilizada uma técnica de completar quadrados:
É simples:
\(t^2-at\)

O que queremos é obter um termo que deixe aparecer um quadrado perfeito. Então, comparemos:
\((t-k)^2=t^2-2kt+k^2\)

Veja que na primeira equação temos 'at' e na segunda temos '2kt'. Então, podemos imaginar que o k é a metade de a, certo?

Façamos o seguinte:
\(t^2-at=t^2-2(a/2)t=t^2-2(a/2)t+(a/2)^2-(a/2)^2\)

Veja que gerei o termo que faltava para completar... somei e subtraí ao mesmo tempo, e forma a não modificar a equação. Agora:
\(t^2-2(a/2)t+(a/2)^2-(a/2)^2=(t-(a/2))^2-(a/2)^2\)

Vamos tentar executar para o que nos mostrou:
\(t^2-\frac{3}{2}t-1\\t^2-2\left(\frac{3}{4}\right)t-1\\t^2-2\left(\frac{3}{4}\right)t+\frac{3}{4}^2-\frac{3}{4}^2-1\\\left(t-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{9}{16}-1\\\left(t-\frac{3}{4}\right)^2-\frac{25}{16}\)

Espero ter ajudado!

[calbferreira@2]

Boa tarde!

Primeiramente muito obrigado!

Só ficou uma dúvida!

Como sumiu o termo \(2\frac{3}{4}t\)?

[Baltuilhe]

Boa tarde!

Editei a resposta para corrigir um erro.
O termo é o seguinte:
\((x+a)^2=x^2+2ax+b^2\)

Veja que ao desenvolver aparece um termo 2ax. Quando colocado dentro dos parênteses, não há mais o '2'. Entendeu?

Espero ter ajudado!

[calbferreira@2]

Entendi o processo, porém, ainda acho que estou com dificuldade.
O caso abaixo pode ilustrar o problema que estou tendo.
Como seria no caso abaixo?
\(\int \frac{dx}{3sinx-4cosx}= \int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{3(\frac{2t}{1+t^2})-4(\frac{1-t^2}{1+t^2})}=\int \frac{\frac{2dt}{1+t^2}}{\frac{6t-4+t^2}{1+t^2}}=\int \frac{2dt}{2(2t^2+3t-2)}=\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+\frac{3}{2}t-2}=\)

daí para a frente eu não estou conseguindo acertar.

a resposta do livro é:
\(\frac{1}{5}ln{{\frac{2tan\frac{x}{2}-1}{tan\frac{x}{2}+2}}}+C\)

obrigado pela ajuda!