Mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos

[Psem 25832]

Olá, podem me ajudar com esse problema do POT (Polos Olímpicos de Treinamento) 2012?

Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.

[Rui Carpentier]

Sugestão: sendo 2n+1 ímpar, a condição de ser um quadrado perfeito implica que é um quadrado perfeito ímpar: \(2n+1=(2k+1)^2\). Desenvolva e veja quanto deverá ser n+1, depois compare com a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos.

[Psem 25832]

Obrigado, Rui Carpenter! Deixarei registrada a solução completa do problema.

Desenvolvendo a equação sugerida:

\(2n+1 = (2k+1)^2
2n+1 = 4k^2+4k+1
2n = 4k^2+4k+1-1
2n = 4k^2+4k\)

Simplificando por 2:

\(n = 2k^2+2k\)

Somando 1 para obter n+1:

\(n+1 = 2k^2 + 2k + 1\)

Comparando com a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos [x² e (x+1)²]:

\(x^2 + (x+1)^2
x^2 + x^2 + 2x + 1
2x^2 + 2x + 1\)

Ou seja:

\(n+1 = k^2 + (k+1)^2\)