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| Mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=13514 |
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| Autor: | Psem 25832 [ 14 dez 2017, 20:24 ] |
| Título da Pergunta: | Mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos [resolvida] |
Olá, podem me ajudar com esse problema do POT (Polos Olímpicos de Treinamento) 2012? Se n é um inteiro positivo tal que 2n + 1 é um quadrado perfeito, mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos. |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 15 dez 2017, 13:07 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos |
Sugestão: sendo 2n+1 ímpar, a condição de ser um quadrado perfeito implica que é um quadrado perfeito ímpar: \(2n+1=(2k+1)^2\). Desenvolva e veja quanto deverá ser n+1, depois compare com a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos. |
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| Autor: | Psem 25832 [ 20 dez 2017, 04:58 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que n + 1 é a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos |
Obrigado, Rui Carpenter! Deixarei registrada a solução completa do problema. Desenvolvendo a equação sugerida: \(2n+1 = (2k+1)^2 2n+1 = 4k^2+4k+1 2n = 4k^2+4k+1-1 2n = 4k^2+4k\) Simplificando por 2: \(n = 2k^2+2k\) Somando 1 para obter n+1: \(n+1 = 2k^2 + 2k + 1\) Comparando com a soma de dois quadrados perfeitos sucessivos [x² e (x+1)²]: \(x^2 + (x+1)^2 x^2 + x^2 + 2x + 1 2x^2 + 2x + 1\) Ou seja: \(n+1 = k^2 + (k+1)^2\) |
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