forma quadratica e forma polar

[helena]

Considere a função Q:R^3---R definida por Q(x1,x2,x3)=x1^2+ 2x1x2-2x2x3-x3^2.
a) Mostre que Q é uma forma quadrática.
b) Determine a forma polar pQ associada à forma quadrática Q, e determine GpQC, onde C é a forma canónica de R^3.

[jorgeluis]

helena,
a)
a forma quadrática em \(n\)variáveis \(\left [Q:\mathbb{R}^n\rightarrow \mathbb{R} \right ]\) é uma função polinomial, de grau \(n\), cuja expressão tem apenas variáveis independentes de grau \(2\).
como,
\(\left [Q:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R} \right ]\)
tem a forma quadrática em 2 variáveis, então,
\(Q(x_1,x_2,x_3)=x_{1}^{2}+ 2x_1x_2-2x_2x_3-x_{3}^{2}\)
\(Q\) é uma forma quadrática, pois 2 variáveis independentes \({(x_1,x_3)}\) possuem grau 2.

b)
transformação da forma quadrática para forma polar \(T:Q\rightarrow p\):
como,
\(Q(x_1,x_2,x_3)=p(\rho,\theta,\phi)
x_1=\rho.sen\theta.cos\phi
x_2=\rho.sen\theta.sen\phi
x_3=\rho.cos\theta\)
então,
\(pQ=(\rho.sen\theta.cos\phi)^2+2(\rho.sen\theta.cos\phi).(\rho.sen\theta.sen\phi)-2(\rho.sen\theta.sen\phi).(\rho.cos\theta)-(\rho.cos\theta)^2\)
agora, se,
\(pQ\times C=[pQ\times(1,0,0)]+[pQ\times(0,1,0)]+[pQ\times(0,0,1)]
pQ\times C=3pQ\)
então,
\(G(pQC)=G(Q)\)

[helena]

Obrigada.