espaço vetorial de polinomios reais e matriz

[helena]

1-Seja Vn o espaço vetorial dos polinómios reais de grau não superior a n>=1, e considere a função D:Vn___ Vn-1 definida por (Dp)(x)= p´x para todo o p pertencente a Vn, e x pertencente a R, sendo p´a derivada de p.

1.1) Mostre que lámeda=0 é o único valor próprio de D.

1.2) Seja n=2. Considere a base B={1,x,x^2} de V2. Escreva a matriz D que representa D nesta base e determine uma forma canónica de Jordan semelhante a D.

[Rui Carpentier]

Sugestões:
Para 1.1: Toma em conta os factos de que \(grau(p'(x))=grau(p(x))-1\) e de que, se \(\lambda \neq 0\) então \(grau(\lambda p(x))=grau(p(x))\).
Para 1.2: Para determinar D basta ver que \(D1=0\), \(Dx=1\) e \(Dx^2=2x\), logo \(D=\left[\begin{matrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{matrix}\right]\). Quanto à forma canónica de Jordan, e sem fazer contas, pode usar o facto de D ser nilpotente de grau 3 (i.e. \(D^3=0\) e \(D^2\neq 0\)) para ver que a forma de Jordan é \(\left[\begin{matrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{matrix}\right]\).

[Rui Carpentier]

Sugestões:
Para 1.1: Toma em conta os factos de que \(grau(p'(x))=grau(p(x))-1\) e de que, se \(\lambda \neq 0\) então \(grau(\lambda p(x))=grau(p(x))\).
Para 1.2: Para determinar D basta ver que \(D1=0\), \(Dx=1\) e \(Dx^2=2x\), logo \(D=\left[\begin{matrix}0&1&0\\0&0&2\\0&0&0\end{matrix}\right]\). Quanto à forma canónica de Jordan, e sem fazer contas, pode usar o facto de D ser nilpotente de grau 3 (i.e. \(D^3=0\) e \(D^2\neq 0\)) para ver que a forma de Jordan é \(\left[\begin{matrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{matrix}\right]\).

[helena]

Obrigada.