Função em R e produto interno

[helena]

Seja s:R^nxR^n___ R uma função definida por s(x,y)=x^TAy onde A é uma matriz nxn real.

Mostre que se s for um produto interno então A é invertível e t(x,y)=x^TA^-1y é também um produto interno.

[Rui Carpentier]

Sugestão: Comece por demonstrar (ou usar o facto) que uma forma quadrática \(S(x,y)=x^T Ay\) define um produto interno real se e só se A é simétrica e definida positiva (i.e. todos o valores próprios de A são positivos) e em seguida demonstre (ou use o facto) que uma matriz definida positiva é invertível e a sua inversa é também definida positiva e que se A for simétrica a sua inversa também é simétrica.

[helena]

Obrigada.
Assim farei.