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MensagemEnviado: 05 mar 2018, 19:36 
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Em R ^3 munido do referencial canónico, considere as entidades geométricas descritas pelas equações seguintes:
alfa: x+y+z=1 e Beta:y=x psi= alfa interseção com Beta

Determine a distância entre a origem das coordenadas e psi e calcule o ângulo que psi faz com o eixo dos zz.


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MensagemEnviado: 07 mar 2018, 14:41 
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Vamos lá:

\(\alpha: x+y+z=1\)

\(\beta: y=x\)

\(\psi= \alpha \cap \beta \Leftrightarrow \psi = 2x+z = 1\)

Observe que \(\psi\) é um plano cujo vetor normal é \(\vec{N} = (2, 0, 1)\)

Vamos chamar a origem de \(P=(0,0,0)\)

Agora vamos tomar um ponto Q pertencente a \(\psi: Q=(0,0, 1)\) (concorda?)

Calculemos o vetor: \(\vec{PQ} = (0,0, 1)\) (concorda?)

Pronto, temos todos os ingredientes para calcularmos a distência pedida que é:

A distância entre o plano \(\psi\) e o ponto \(P\) é dada pelo produto escalar entre o vetor de \(P\) a um ponto de \(\psi\), no nosso caso \(Q\), ou seja o vetor \(\vec{PQ}\) e o vetor normal ao plano. Dividimos o módulo desse produto escalar pelo módulo do vetor normal ao plano.
Em outras palavras, a distância é o módulo da projeção normal de \(\vec{PQ}\).

Numericamente, teremos:

Seja \(d\) a distância:

\(d = \frac{\left | PQ \cdot N \right |}{\left \| N \right \|} \Leftrightarrow d = \frac{\left |(0,0,1) \cdot (2, 0, 1)\right |}{\left \| (2, 0, 1) \right \|} \Leftrightarrow d = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\).

Conseguiria calcular o ângulo a partir daqui?

_________________
Fraol
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MensagemEnviado: 11 mar 2018, 20:20 
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Obrigada.
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