30 ago 2018, 01:17
Olá, gostaria de pedir ajuda de vcs. Meu professor passou uma lista de exercícios de demonstrações matemáticas por prova direta, porém eu estou travado em um dos exercícios. Poderia me explicar como resolver ele. Agradeço desde já.
Enunciado: Mostre que a diferença de dois quadrados perfeitos consecutivos é ímpar.
Segundo Enunciado: Mostre que para todo inteiro n e m, se n − m é par então n3 − m3 é par. [Dica: Divida (n3 − m3) por (n − m) e descubra que (n3 − m3) = (n − m)(n2 + nm + m)].
Nesse segundo caso eu tentei fazer dessa maneira: n-m=2k; multiplicado tudo por 3 nos dois lados da igualdade ficaria 3n-3m=6k. Colocando o 6k em evidência teria 2(3.k), ou seja, um inteiro vezes 2, que vai ser par. Só que no enunciado ele falou essa dica que me deixou um pouco confuso.
Terceiro Enunciado: Mostre que se x é irracional, então 1/x tbm é irracional. Nesse terceiro caso o professor falou que seria melhor usar contra-positiva.
Agradeço desde já pela ajuda
30 ago 2018, 19:27
Sugestões:
Para o 1º enunciado: Veja quanto dá \((n+1)^2-n^2\).
Para o 2º enunciado: Creio que se trata de \(n^3-m^3\) e não \(3n-3m\). Note que \(n^3-m^3 = (n-m)(n^2+nm+m^2)\) e um múltiplo de um par é um par.
Para o 3º enunciado: Se 1/x fosse racional (1/x = n/m) então x também seria racional: x = m/n.