Demonstrações matemáticas/Demonstre que x+|x-7|>=7

[shazan]

Olá, gostaria de ajuda com uma questão de demonstrações matemáticas.
Enunciado: x + |x − 7| ≥ 7 para todos os numeros reais x. [Dica: Considere dois casos: x ≥ 7
ou x < 7].
Para o caso x>=7 eu fiz assim:
x>=7, somando modulo de x-7 dos dois lados fica
x+|x-7|>=7+|x-7|
modulo de x-7 sempre dará um valor positivo, por isso eu chamei x-7 de C, que representa um valor positivo qualquer.
logo 7+C>=7, pois 7 mais alguma coisa positiva vai ser igual a 7(caso seja um zero) ou maior
x+|x-7|>=7+C>=7, logo
x+|x-7|>=7
me ajudem com o segundo caso, em que x<7

[sgtvinicius]

por definição de módulo:

|x-7| = x-7, se x é maior ou igual a 7 ou -x+7, se x menor que 7.

para o primeiro caso, x-7 é maior ou igual a 0, então x+x+7 é maior ou igual a 7

para o segundo caso:

x-x+7 = 0+7 = 7

[sgtvinicius]

Desculpe, na pressa errei uma expressão

por definição de módulo:

|x-7| = x-7, se x é maior ou igual a 7 ou -x+7, se x menor que 7.

para o primeiro caso, x-7 é maior ou igual a 0, então x+x-7 é maior ou igual a 7, pois temos um número maior ou igual a 7 somado a um número maior ou igual a zero.

para o segundo caso:

x-x+7 = 0+7 = 7