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MensagemEnviado: 18 set 2018, 05:43 
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alguém pode me ajudar nessa questão de produto direto externo


Z x Z é um grupo cíclico? se sim porque?


agradeço desde já aqueles que responderem


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MensagemEnviado: 22 set 2018, 15:44 
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Um grupo aditivo \((G,+)\) é , por definição, cíclico se existe um elemento \(g\in G\) tal que \(G=\{ng: n\in\mathbb{Z}\} = \{\dots , -g-g-g, -g-g, -g, 0, g, g+g, g+g+g, \dots \}\) (usa-se a notação \(\langle g\rangle\) para este conjunto). Não difícil ver que não existe \((a,b)\in\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\) que gere todo o \(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\):

Se \(a=0\) então \((1,0)\not\in \langle (a,b)\rangle\) (exercício) e se \(a\not= 0\) então \((a,b+1)\not\in \langle (a,b)\rangle\) (exercício).


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