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MensagemEnviado: 02 mar 2020, 20:47 
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Quitéria foi desafiada por um de seus amigos a desvendar um
número oculto. Esse amigo lhe forneceu as seguintes
informações a respeito desse número:
 o número possui 5 algarismos distintos, ou seja, todos
diferentes;
 o algarismo da 4ª ordem é 6 unidades maior do que o
algarismo da 1ª ordem;
 o produto dos algarismos da 1ª classe é igual ao produto dos
algarismos da 2ª classe.
Após alguns minutos, Quitéria disse ao seu amigo que não
conseguiria responder ao desafio porque havia mais de um
número respeitando as informações dadas.
Quantos números diferentes obedecem a todas essas
condições?
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.


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MensagemEnviado: 14 mar 2020, 20:08 
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Provavelmente quem colocou a questão já deve saber a resposta, mas para quem poder interessar aqui vai um resolução.
O que se pretende é encontrar quantos números de 5 algarismo (vamos designar por \(A\),\(B\),\(C\),\(D\) e \(E\), ou seja, o número escreve-se em notação decimal* da forma \(ABCDE\)) é que há com as seguintes condições:
1º Os algarismos são distintos;
2º \(B=E+6\);
3º \(A\times B= C\times D\times E\)
Das primeira e terceira condições resulta que nenhum dos algarismos pode ser 0, 5 ou 7. Se um deles o fosse teria de haver outro igual para termos ambos os produtos da 3ª condição iguais (a zero, ou a um múltiplo de 5 ou a um múltiplo de 7).
Sobra então que as únicas possibilidades para \(B\) e \(E\) (atendendo à 2ª condição) são \((B,E)=(8,2)\) ou \((B,E)=(9,3)\).
Vejamos que não podemos ter \((B,E)=(8,2)\): Tal implicaria que \(8\times A= 2\times C\times D \Leftrightarrow 4\times A= C\times D\). Nem \(C\) nem \(D\) podem ser 4 pois o outro teria de ser igual a \(A\). E com 6 como o único algarismo par disponível para \(C\) ou \(D\) é impossível ter o produto dos dois como múltiplo de 4.
Resta, portanto, \((B,E)=(9,3)\). Neste caso temos \(9\times A= 3\times C\times D \Leftrightarrow 3\times A= C\times D\). Portanto ou \(C\) ou \(D\) tem de ser múltiplo de 3, e o único algarismo com essa condição que resta é o 6. Ou seja, \(C\) ou \(D\) é igual a 6. Temos então que \(A\) é o dobro do algarismo \(C\) ou \(D\) que é diferente de 6. Logo, \(A\) é igual a 2, 4 ou 8 pois são os únicos algarimos pares além do já atribuído 6 e do já excluído 0.
Temos então seis soluções:
29613, 49623, 89643, 29163, 49263 e 89463.

* Claro que este exercício podia ser feito (com respostas diferentes) para diferentes bases, mas parece-me que a intenção é considerar a convencional base decimal.


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