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Problema - idade
https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=1558		 Página 1 de 1
Autor:  danjr5 [ 13 jan 2013, 17:30 ]
Título da Pergunta:  Problema - idade
A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente, a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha a metade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Com base nessas informações calcule a idade de Ana.

Resp.: 16 anos 6 meses.

Essa é puxada! [risos]. :)
Autor:  Sobolev [ 21 jan 2013, 14:22 ]
Título da Pergunta:  Re: Problema - idade  [resolvida]
danjr5 Escreveu:
A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente, a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha a metade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Com base nessas informações calcule a idade de Ana.

Resp.: 16 anos 6 meses.

Essa é puxada! [risos]. :)


É só uma questão de não nos deixarmos enrolar no enunciado... ( o que é fácil!). Comecemos por notar que Maria terá que ser a mais velha já que se diz " ... quando Maria tinha o triplo da idade da Ana". Se designarmos \(A_t , M_t\) as idades da Ana e da Maria t anos após o nascimento da Ana teremos que \(A_t = t, \quad \quad M_t = M_0 + t\), em que \(M_0\) é a idade da Maria quando a Ana nasceu. Começando pela última informação, a Maria tinha o tripo da idade da Ana quando

\(M_0 + t = 3t \Leftrightarrow t = \frac{M_0}{2}\)

A idade da Maria seria nessa altura \(3 M_0 /2\), pelo que o seu triplo seria \(9 M_0 /2\). A Maria que teria "...metade da idade da Ana..." referida no enunciado seria pois \(9 M_0 /4\), e a idade da Ana nesse mesmo momento seria \(9 M_0 / 4 - M_0 = 5 M_0 /4\). Concluímos então que a idade actual da Maria é \(5 M_0 /2\) e, consequentemente, a idade da Ana será \(5 M_0/2 -M_0 = 3 M_0 /2\).

Finalmente como sabemos que a soma das idades actuais é 44, teremos que \(5 M_0/2 + 3 M_0/2 =44\), ou seja, \(M_0=11\), pelo que a idade da Ana é \(3 \times 11 /2\), que corresponde aos tais 16 anos e seis meses.

ufa!
Autor:  danjr5 [ 21 jan 2013, 20:38 ]
Título da Pergunta:  Re: Problema - idade
Obrigado Sobolev, gostei da resolução!
Depois posto como fiz.

Até a próxima!!

Daniel F.
Autor:  danjr5 [ 21 jan 2013, 21:33 ]
Título da Pergunta:  Re: Problema - idade
\(\begin{cases} \textrm{Maria tem}: \:\: x \\ \textrm{Ana tem}: \:\:\:\:\:\ y \end{cases}\)

\(\begin{cases} \textrm{Maria tinha}: \:\: x - a \\ \textrm{Ana tinha}: \:\:\:\:\:\ y - a \end{cases}\)

\(\begin{cases} \textrm{Maria ter}\acute{a}: \:\: x + b \\ \textrm{Ana ter}\acute{a}: \:\:\:\:\:\: y + b \end{cases}\)


CONDIÇÃO I:
danjr5 Escreveu:
A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44...

\(x + y = 44\)

CONDIÇÃO II:
danjr5 Escreveu:
Atualmente a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha...

\(x = 2(y - a)\)

CONDIÇÃO III:
danjr5 Escreveu:
... Maria tinha a metade da idade que Ana terá...

\(x - a = \frac{1}{2}(y + b)\)

CONDIÇÃO IV:
danjr5 Escreveu:
... a idade desta (Ana) for o triplo da idade que Maria tinha...

\(y + b = 3(x - a)\)

CONDIÇÃO V:
danjr5 Escreveu:
... Maria tinha o triplo da idade de Ana.

\(x - a = 3(y - a)\)

- Devemos isolar a e b;
e,
- Substituir, sucessivamente, a última equação/condição na 'antecessora'.

Isolando a da CONDIÇÃO V teremos \(\fbox{a = \frac{- x + 3y}{2}}\); Substituindo-a na CONDIÇÃO IV, resulta \(\fbox{b = \frac{9x - 11y}{2}}\)

Substituindo \(\fbox{b = \frac{9x - 11y}{2}}\) na CONDIÇÃO III, teremos \(\fbox{a = \frac{- 5x + 9y}{4}}\)

E finalmente, substituindo \(\fbox{a = \frac{- 5x + 9y}{4}}\) na CONDIÇÃO II, teremos \(\fbox{x = \frac{5y}{3}}\)

Agora...

\(\begin{cases}x + y = 44 \\ x = \frac{5y}{3} \end{cases}\)

Resolvendo-o...

y = 16 anos 6 meses
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