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| problema sobre conjuntos https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=1964 |
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| Autor: | Walter R [ 08 mar 2013, 02:36 ] |
| Título da Pergunta: | problema sobre conjuntos [resolvida] |
O seguinte problema foi proposto no livro "Curso de Análise", de Elon Lages Lima, Ed. Impa: " Dados os conjuntos A e B, seja X um conjunto com as seguintes propriedades: (1) \(X \supset A\) e \(X \supset B\) (2) Se \(Y \supset A\) e \(Y \supset B\), então \(Y \supset X\). Prove que \(X = A \cup B\)" De (1) facilmente se infere que \(X \supset A \cup B\). O problema é que de (2) não consigo tirar a conclusão de que \(A\cup B \supset X\), para daí então chegar ao resultado procurado ( \(X=A\cup B\)). |
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| Autor: | Fraol [ 08 mar 2013, 03:39 ] |
| Título da Pergunta: | Re: problema sobre conjuntos |
Boa noite, Creio que o melhor é tentar provar por contradição, por exemplo, supondo \(X \neq A U B\) e assim verificar que não vale a hipótese (2). Que tal? |
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| Autor: | Fraol [ 08 mar 2013, 21:47 ] |
| Título da Pergunta: | Re: problema sobre conjuntos |
Olá, boa tarde. Formalizando a resposta em cima da minha proposta anterior: Consideremos \(X \neq AUB\) tal que (1) \(X \supset A\) e \(X \supset B\). Então \(X\) contém ao menos um outro elemento que não pertence nem a \(A\) nem a \(B\). Agora consideremos um certo conjunto \(Y\) tal que \(Y = AUB\), então \(Y \supset A\) e \(Y \supset B\) mas, pelo exposto acima, \(Y\) não pode conter \(X\), pois este possui elementos além daqueles oriundos da união entre \(A\)e \(B\). Então isso contraria a nossa hipótese (2) e portanto devemos concluir que \(X = AUB\). |
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| Autor: | Walter R [ 09 mar 2013, 21:52 ] |
| Título da Pergunta: | Re: problema sobre conjuntos |
Bem argumentado. Obrigado! |
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