n.(n²-1) é sempre divisível por 3? V ou F

[Matt.]

Olá pessoal, estou com um probleminha aqui nesta questão.
Ela diz o seguinte: Sendo "n" um número estritamente positivo, é correto afirmar que:

O número "n.(n²-1) será sempre divisível por 3.

Obs: A resposta é Verdadeira (V), mas eu não sei como alguém chegou a essa conclusão, podem me explicar com detalhes por favor? Obrigado.

[Sobolev]

Pode demonstrar por indução em n:
P(n): \(n(n^2-1)\) é múltiplo de 3.

A verificar:
1) P(1) é verdadeira
2) Se P(n) é verdadeira o mesmo acontece com P(n+1)

1) 0 é múltiplo de 3 (ok)

2) Se P(n) é verdade então existe um número natural k tal que \(n^3-n = 3k\). Ora, queremos mostrar que nesse caso existirá um número natural \(\tilde{k}: (n+1)((n+1)^2-1) = 3 \tilde{k}\).

\((n+1)*((n+1)^2-1) = (n+1) (n^2+2n+1-1) = n^3+2n^2+n^2+2n = (n^3-n)+3n^2+3n = 3k + 3(n^2+n) = 3 \tilde{k},\)

em que \(\tilde{k} = k+n^2+n\).

[Matt.]

Pode demonstrar por indução em n:
P(n): \(n(n^2-1)\) é múltiplo de 3.

A verificar:
1) P(1) é verdadeira
2) Se P(n) é verdadeira o mesmo acontece com P(n+1)

1) 0 é múltiplo de 3 (ok)

2) Se P(n) é verdade então existe um número natural k tal que \(n^3-n = 3k\). Ora, queremos mostrar que nesse caso existirá um número natural \(\tilde{k}: (n+1)((n+1)^2-1) = 3 \tilde{k}\).

\((n+1)*((n+1)^2-1) = (n+1) (n^2+2n+1-1) = n^3+2n^2+n^2+2n = (n^3-n)+3n^2+3n = 3k + 3(n^2+n) = 3 \tilde{k},\)


em que \(\tilde{k} = k+n^2+n\).

Oh my God. Desculpe, mas não entendi nada.

[Sobolev]

Conhece o método de indução ? Se não conhece seria melhor procurar analisar exemplos mais simples. O método de indução finita consiste em mostrar que certa propriedade é verdadeira para n=1 e que, se for verificada para um número natural, também é verificada para o seguinte. Deste modo é verdadeira para todos os naturais. (porque se é verdadeira para n=1 tb é verdadeira para n=2, se é verdadeira para n=2 tb é verdadeira para n=3, e assim sucessivamente...)

O que fiz foi precisamente mostrar que além da propriedade ser verificada para n=1, se para um inteiro n for verdade que \(n(n^2-1)\) é múltiplo de 3, o mesmo acontece para o inteiro seguinte, isto é (n+1). As contas são explícitas... fui calcular \((n+1)((n+1)^2-1\) e ver que é múltiplo de 3 (desde que \(n(n^2-1)\) o seja).

[Matt.]

Conhece o método de indução ? Se não conhece seria melhor procurar analisar exemplos mais simples. O método de indução finita consiste em mostrar que certa propriedade é verdadeira para n=1 e que, se for verificada para um número natural, também é verificada para o seguinte. Deste modo é verdadeira para todos os naturais. (porque se é verdadeira para n=1 tb é verdadeira para n=2, se é verdadeira para n=2 tb é verdadeira para n=3, e assim sucessivamente...)

O que fiz foi precisamente mostrar que além da propriedade ser verificada para n=1, se para um inteiro n for verdade que \(n(n^2-1)\) é múltiplo de 3, o mesmo acontece para o inteiro seguinte, isto é (n+1). As contas são explícitas... fui calcular \((n+1)((n+1)^2-1\) e ver que é múltiplo de 3 (desde que \(n(n^2-1)\) o seja).

É, já faz um tempinho que estou parada, e boiei um pouquinho, mas acho que entendi um pouco. Vou dar uma pesquisada, vou estudar outros exemplos e ver o que consigo. Muito obrigado pela resposta. Podemos considerar este tópico RESOLVIDO!