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Resolver 15625y + 11529 = 1024x Para que X seja o menor int.
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Autor:  Sarafana [ 22 mar 2013, 06:54 ]
Título da Pergunta:  Resolver 15625y + 11529 = 1024x Para que X seja o menor int.
Olá, estou com dificuldades para resolver essa equação:

15625y + 11529 = 1024x

Calcular o valor de x,
Onde Y é elemento dos Naturais e múltiplo de 5
e X é menor número inteiro possível à equação.

Muito Obrigado !!!
Autor:  Fraol [ 23 mar 2013, 01:31 ]
Título da Pergunta:  Re: Resolver 15625y + 11529 = 1024x Para que X seja o menor
Boa noite,

Bom vamos lá, por favor dá uma olhada nas contas que fiz, se tiver algum erro manda de volta.

Inicialmente vamos rearranjar a equação ( que é diofantina, certo? ):

\(15625y + 11529 = 1024x \Rightarrow 15625y - 1024x = -11529\).

Como \(15625 = 5^6\) e \(1024 = {2}^{10}\) então \(MDC(15625,1024) = 1\).

Então, da teoria dos números sabemos que existem \(m, n\) tais que \(15625m - 1024n = 1\).

Fazendo algumas contas conclui-se que \(m=313\) e \(n=4776\).

Assim: \({15625} \cdot {313} - {1024} \cdot {4776} = {1}\). Agora multiplicando ambos os membros por -11529:

\({15625 \cdot \cdot 313 \cdot (-11529)} - {1024 \cdot 4776 \cdot (-11529)} = -11529\). E associando convenientemente:

\(15625 \cdot (-3608577 ) - 1024 \cdot (-55062504 ) = -11529\).

Então para \(t\) inteiro, temos:

\(y = -3608577 - 1024 \cdot t\) e
\(x = -55062504 - 15625 \cdot t\).

Como se quer o menor \(x\) inteiro e \(y\) natural múltiplo de \(5\), vamos ver o que conseguimos:

Analisando \(y = -3608577 - 1024 \cdot t\) para \(y\) natural e múltiplo de \(5\), então:

\(y = -3608577 - 1024 \cdot t > 0 \Rightarrow - 1024 \cdot t > 3608577 \Rightarrow t < - 3608577 / 1024\).

Por inspeção de valores conclui-se que \(t = -3528\) satisfaz as condições para \(y\) que fica igual a \(4095\).

Dessa forma \(x = 62496\).

Ufa!
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