| Fórum de Matemática | DÚVIDAS? Nós respondemos! https://forumdematematica.org/ |
|
| Racionalização https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=2086 |
Página 1 de 1 |
| Autor: | amanda1976 [ 24 mar 2013, 02:39 ] |
| Título da Pergunta: | Racionalização |
A expressão \((2\sqrt{3} + \sqrt{5})^5 - (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^5\) é???? |
|
| Autor: | danjr5 [ 24 mar 2013, 15:21 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Racionalização |
Oi Amanda1976, seja bem-vinda!! Para facilitar as contas, consideremos \(\fbox{(2\sqrt{3} + \sqrt{5}) = a}\) e \(\fbox{(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) = b}\) Então, \(\\ a^2 = 4 \cdot 3 + 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 5 \\\\ a^2 = 12 + 4\sqrt{15} + 5 \\\\ \fbox{a^2 = 17 + 4\sqrt{15}}\) E, \(\\ b^2 = 4 \cdot 3 - 2 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{5} + 5 \\\\ b^2 = 12 - 4\sqrt{15} + 5 \\\\ \fbox{b^2 = 17 - 4\sqrt{15}}\) E também, \(\\ ab = (2\sqrt{3} + \sqrt{5})(2\sqrt{3} - \sqrt{5}) \\\\ ab = 4 \cdot 3 - 5 \\\\ \fbox{ab = 7}\) Com efeito, \((2\sqrt{3} + \sqrt{5})^5 - (2\sqrt{3} - \sqrt{5})^5 =\) \(a^5 - b^5 =\) \((a - b)(a^4 + a^3b + a^2b^2 + ab^3 + b^4) =\) \((a - b)\left [ a^2(a^2 + ab) + b^2(ab + b^2) \right ] =\) \((2\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3} + \sqrt{5})\left [(17 + 4\sqrt{15})(17 + 4\sqrt{15} + 7) + (17 - 4\sqrt{15})(7 + 17 - 4\sqrt{15}) \right ] =\) \(2\sqrt{5}\left [(17 + 4\sqrt{15})(24 + 4\sqrt{15}) + (17 - 4\sqrt{15})(24 - 4\sqrt{15}) \right ] =\) \(2\sqrt{5}\left (408 + 68\sqrt{15} + 96\sqrt{15} + 240 + 408 - 68\sqrt{15} - 96\sqrt{15} + 240 \right ) =\) \(2\sqrt{5}\left (408 + 240 + 408 + 240 \right ) =\) \(2\sqrt{5} \cdot 1296 =\) \(\fbox{2592\sqrt{5}}\) |
|
| Página 1 de 1 | Os Horários são TMG [ DST ] |
| Powered by phpBB® Forum Software © phpBB Group https://www.phpbb.com/ |
|