Fórum de Matemática
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Mostre que, ∀n ∊ Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1

Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil!
Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides?

Obrigado

Tal como se pode ver no algorítmo de Euclides o \(mdc(a,b) = k a + l b\) onde \(k\) e \(l\) são números inteiros (não necessariamente positivos).
Assim se se conseguir encontrar \(k\) e \(l\) tal que \(k(2n+1)+ln(n+1)/2=1\) temos provado* que \(mdc(2n+1, n(n+1)/2) =1\).

Ora \(n=4\frac{n(n+1)}{2}-n(2n+1)\) logo \(1=2n+1 -2n= (1-2n)(2n+1)+8\frac{n(n+1)}{2}\) (ou seja \(k=1-2n\) e \(l=8\)).

* Em geral \(mdc(a,b)\) divide qualquer número da forma \(k a + l b , \quad k,l\in \mathbb{Z}\), portanto se existe \(k,l\in \mathbb{Z}\) tal que \(k a + l b=1\) então \(mdc(a,b)\) divide 1 logo é igual a 1.