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| Mostre que, ∀n ∊ Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=2618 |
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| Autor: | ferfer [ 26 mai 2013, 16:36 ] |
| Título da Pergunta: | Mostre que, ∀n ∊ Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1 |
Mostre que, ∀n ∊ Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1 Então, eu fiz um parecido que era provar o mdc( 2n + 1 , n), usando o algoritmo de Euclides... só que foi fácil! Este que postei no forum, eu não consegui desenvolver! Há outra maneira sem algoritmo de Euclides? Obrigado |
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| Autor: | Rui Carpentier [ 29 mai 2013, 20:33 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Mostre que, ∀n ∊ Z, o mdc( 2n+1 , n(n+1)/2) = 1 |
Tal como se pode ver no algorítmo de Euclides o \(mdc(a,b) = k a + l b\) onde \(k\) e \(l\) são números inteiros (não necessariamente positivos). Assim se se conseguir encontrar \(k\) e \(l\) tal que \(k(2n+1)+ln(n+1)/2=1\) temos provado* que \(mdc(2n+1, n(n+1)/2) =1\). Ora \(n=4\frac{n(n+1)}{2}-n(2n+1)\) logo \(1=2n+1 -2n= (1-2n)(2n+1)+8\frac{n(n+1)}{2}\) (ou seja \(k=1-2n\) e \(l=8\)). * Em geral \(mdc(a,b)\) divide qualquer número da forma \(k a + l b , \quad k,l\in \mathbb{Z}\), portanto se existe \(k,l\in \mathbb{Z}\) tal que \(k a + l b=1\) então \(mdc(a,b)\) divide 1 logo é igual a 1. |
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