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| Produtos Notáveis de ordem 3 https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=2812 |
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| Autor: | LkN [ 12 jun 2013, 21:17 ] |
| Título da Pergunta: | Produtos Notáveis de ordem 3 |
Os números reais x e y são soluções do seguinte sistema de equações: x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 2√2 x³ - 3x²y + 3xy² - 2y³ = 0 Assim é correto afirmar que x² + y² é igual a: a)8/9 b)2 c)1 d)10/9 |
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| Autor: | João P. Ferreira [ 12 jun 2013, 22:01 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Produtos Notáveis |
Repare que \(x^3 + 3x^2 y + 3xy^2 + y^3 = (x+y)^3 = {2\sqrt{2}}\) e que \(x^3-3x^2y+3xy^2-2y^3 = (x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)-y^3 = (x-y)^3-y^3 = 0\) então \((x+y)^3 = 2\sqrt{2}\) e \((x-y)^3 = y^3\) o que equivale a \(x-y=y\) ou seja \(x=2y\) Então: \((x+y)^3 = 2\sqrt{2}\) \((2y+y)^3 = 2\sqrt{2}\) \((3y)^3 = 2\sqrt{2}\) \(y = {(2\sqrt{2})^{1/3} \over 3}\) logo \(x^2+y^2=(2y)^2+y^2=5y^2=5\left({(2\sqrt{2})^{1/3} \over 3}\right)^2={5 \sqrt[3]{8} \over 9}=10/9\) |
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