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| Problema: feira municipal https://forumdematematica.org/viewtopic.php?f=70&t=2817 |
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| Autor: | leandramsg [ 13 jun 2013, 02:15 ] |
| Título da Pergunta: | Problema: feira municipal |
Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 |
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| Autor: | Mauro [ 13 jun 2013, 12:59 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema: feira municipal |
leandramsg Escreveu: Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 Prezada, tenho certeza de que este não é o melhor caminho. Mas tentei resolver assim: Imaginemos valores conhecidos para descobrirmos qual o caminho a seguir. Vamos supor que tenhamos 4.200,00 para serem compostos com 4 instituições. Então, a quota (q1) de cada uma delas seria \(q=\frac{4000}{4}=1.050\) Mas, suponhamos ainda, que uma delas tenha saído. Assim, a nova divisão (q2) seria \(q2=\frac{4000}{3}=1.450\) Ou seja, cada uma das 3 instituições teve um acréscimo na sua contribuição de 350,00. Veja que aqui é o pulo do gato. Nós não sabemos quanto é a quota inicial, mas sabemos que ela é \(\frac{342000}{x}\) O acréscimo foi dado pelo problema, que são os 19.000. Assim, o novo valor da cota é \({\frac{342000}{x}}+19000\) para cada instituição que sobrou. Então, para mostrar isto, vamos chamar de 'C' para o custo total, de 'd' a quantidade de instituições desistentes, para 'x' a quantidade de instituições iniciais (justamente o que o problema pede) e de 'a' ao ajuste necessário para completar o valor 'C' total. \(C = (x - d) \times (\frac{C}{x}+a)\). Vamos ver se é verdade pelo exemplo conhecido? \(4200 = (4 - 1) \times (\frac{4200}{4}+350)\) \(4200 = 3 \times (1050+350)\) obviamente \(4200 = 4200\) Podemos prosseguir então com a fórmula arranjada. No nosso problema verdadeiro, usando as letras da fórmula anterior, teremos \(342.000 = (x - 3) \times (\frac{342000}{x}+19000)\) Desenvolvendo, que é uma chatice com números tão grandes, obtive \(19000x^2-57000x-1026000=0\) Aplicando a fórmula de Bhaskara (Baskhara?,Báscara?), você poderá encontrar o valor correto. Um abração, espero ter ajudado, Mauro |
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| Autor: | danjr5 [ 29 jun 2013, 10:42 ] |
| Título da Pergunta: | Re: Problema: feira municipal |
Outra maneira de resolver: leandramsg Escreveu: Pensando no desenvolvimento do município, a prefeitura une-se com instituições da cidade para realizar uma feira municipal. Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. O número original de instituições era de: a) 8 b) 9 c) 10 d) 12 Número de instituições: x Quantia a ser paga por cada instituição: y \(\frac{\text{valor total}}{\text{quantidade de instituicoes}} = \text{quantia a ser paga por cada uma}\) CONDIÇÃO I: Citar: ...Sabendo que terão um custo total de 342 mil reais para a realização do evento e que este custo será dividido igualmente entre as instituições, \(\frac{342000}{x} = y\) \(\fbox{xy = 342000}\) CONDIÇÃO II: Citar: ...três destas desistem de participar. Assim, cada instituição restante terá um acréscimo de 19 mil reais ao seu custo. \(\frac{342000}{x - 3} = y + 19000\) \((x - 3)(y + 19000) = 342000\) \(xy + 19000x - 3y - 57000 = 342000\) \(19000x - 3y = 57000 - \underbrace{xy}_{342000} - 342000\) \(\fbox{19000x - 3y = 57000}\) O número de instituições é dado por \(x\), portanto, para encontrá-lo devemos isolar \(y\) em uma das equação e substituir na outra. \(\fbox{xy = 342000} \Rightarrow y = \frac{342000}{x}\) Substituindo,... \(\fbox{19000x - 3y = 57000}\) \(19000x - 3 \times \frac{342000}{x} = 57000 \;\;\;\;\; \div (1000\) \(19x - 3 \times \frac{342}{x} = 57\) \(\frac{19x}{1/x} - 3 \times \frac{342}{x/1} = \frac{57}{1/x}\) \(19x^2 - 1026 = 57x\) 19x² - 57x - 1026 = 0 \(\Delta = 3249 + 77976\) \(x = \frac{- b \pm \sqrt{\Delta }}{2a} \Rightarrow x = \frac{57 \pm \sqrt{81225}}{2 \times 19}\) \(\begin{cases} x' = \frac{57 + 285}{38} \Rightarrow \fbox{\fbox{x' = 9}} \\\\ x'' = \frac{57 - 285}{38} \Rightarrow x'' = \text{negativo} \end{cases}\) O outro valor de x (\(x''\)) é negativo, então não precisamos encontrá-lo, pois, o número de instituições não pode ser NEGATIVO. |
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