Provar Estruturas Algébricas
Enviado: 15 jun 2013, 01:41
Segue questão abaixo:
Boa noite,
Vamos lá, vamos ver se sai assim de sopetão:
Se \(a \in Z_n\) é invertível então \(ax \equiv 1 (\text{mod } n)\), com \(x \in Z_n\) o que significa que
\(ax - nk = 1\), para um certo k inteiro.
Então se existir um número que divida \(a\) e \(n\) então esse mesmo número dividirá \(ax - nk\) e portanto dividirá 1 também, logo esse número só pode ser o 1 ( certo?, ah! o -1 também) e com isso temos que MDC(a,n) = 1. E isso prova a ida.
Por outro lado, se o MDC(a,n) = 1 então existem números x e y tais que \(ax + ny = 1\) e assim: \(ax = 1 - ny\), usando um artifício, \(ax = 1 + n(-y)\) e isso mostra que \(ax\) deixa resto \(1\) na divisão por \(n\). Logo \(ax \equiv 1 (\text{mod } n)\). E isso prova a volta.
Por favor, faça a verificação se os passos estão consistentes e em caso de algum problema manda de volta pra gente arredondar.